Xin chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, thầy/cô rất vui được cùng các em khám phá một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai. Đây là một dạng toán khá thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta, đặc biệt là với bộ sách giáo khoa mới (dù là Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều, các em đều sẽ gặp dạng toán này).

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x^2 – 5x – 2.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu hoặc một tổng, cộng hoặc trừ đi một hằng số. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cơ bản là bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \( (a-b)^2 \geq 0 \) hoặc \( (a+b)^2 \geq 0 \).

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào từng bước giải chi tiết nhé:

Bước 1: Phân tích biểu thức và chuẩn bị đưa về dạng bình phương.
Chúng ta có biểu thức A = 3x^2 – 5x – 2.
Để đưa về dạng bình phương, chúng ta cần làm cho hệ số của x^2 là 1. Ta sẽ đặt 3 làm nhân tử chung:
A = 3(x^2 – \(\frac{5}{3}\)x) – 2

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho biểu thức trong ngoặc.
Bây giờ, chúng ta tập trung vào phần trong ngoặc: x^2 – \(\frac{5}{3}\)x.
Chúng ta muốn biến nó thành dạng \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) hoặc \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
Ở đây, \(a^2\) tương ứng với \(x^2\), vậy \(a = x\).
Hạng tử \( -2ab \) tương ứng với \( -\frac{5}{3}x \).
Do đó, \( -2xb = -\frac{5}{3}x \). Suy ra \( b = \frac{5}{6} \).
Để hoàn thành bình phương, chúng ta cần cộng thêm \( b^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36} \).
Chúng ta sẽ thêm và bớt \( \frac{25}{36} \) vào trong ngoặc để không làm thay đổi giá trị của biểu thức:
x^2 – \(\frac{5}{3}\)x = x^2 – 2.x.\(\frac{5}{6}\) + \((\frac{5}{6})^2\) – \((\frac{5}{6})^2\)
x^2 – \(\frac{5}{3}\)x = \( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{25}{36} \)

Bước 3: Thay thế biểu thức đã hoàn thành bình phương vào biểu thức ban đầu.
Bây giờ, chúng ta quay trở lại biểu thức A:
A = 3(x^2 – \(\frac{5}{3}\)x) – 2
Thay \( x^2 – \frac{5}{3}x \) bằng \( (x – \frac{5}{6})^2 – \frac{25}{36} \):
A = 3[ \( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{25}{36} \) ] – 2

Bước 4: Rút gọn biểu thức.
Tiếp tục nhân 3 vào trong ngoặc và rút gọn các hằng số:
A = 3\( (x – \frac{5}{6})^2 \) – 3.\( \frac{25}{36} \) – 2
A = 3\( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{25}{12} \) – 2
Để trừ các hằng số, chúng ta quy đồng mẫu số:
A = 3\( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{25}{12} \) – \( \frac{24}{12} \)
A = 3\( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{49}{12} \)

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.
Bây giờ chúng ta có biểu thức A dưới dạng: A = 3\( (x – \frac{5}{6})^2 \) – \( \frac{49}{12} \).
Chúng ta biết rằng, với mọi số thực x, bình phương của một hiệu luôn không âm:
\( (x – \frac{5}{6})^2 \geq 0 \) với mọi x.
Do đó, \( 3(x – \frac{5}{6})^2 \geq 0 \) với mọi x.
Để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất, hạng tử \( 3(x – \frac{5}{6})^2 \) phải đạt giá trị nhỏ nhất của nó, tức là bằng 0.
Điều này xảy ra khi:
\( x – \frac{5}{6} = 0 \)
\( x = \frac{5}{6} \)

Khi \( x = \frac{5}{6} \), biểu thức A sẽ có giá trị nhỏ nhất là:
A_min = 3(0) – \( \frac{49}{12} \)
A_min = – \( \frac{49}{12} \)

Kết luận:
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x^2 – 5x – 2 là – \(\frac{49}{12}\), đạt được khi \( x = \frac{5}{6} \).

Các em thấy không, chỉ cần khéo léo biến đổi biểu thức, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra giá trị nhỏ nhất của nó. Hãy ghi nhớ phương pháp này nhé, nó sẽ rất hữu ích cho các bài toán sau này.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!