Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại kiến thức về phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx, và sau đó áp dụng để tìm số nghiệm trên một khoảng xác định nhé.

Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán 11, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức biến đổi và cách tìm nghiệm trên một khoảng. Đừng lo lắng, chúng ta sẽ đi từng bước thật chậm và chắc chắn!

Bài giải chi tiết:

Đề bài yêu cầu tìm số nghiệm của phương trình \( \sin x + \cos x = 1 \) trên khoảng \( (0; \pi) \).

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Phương trình đã cho có dạng \( a \sin x + b \cos x = c \), với \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \).
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
Tính \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \).

Chia cả hai vế của phương trình cho \( \sqrt{2} \), ta được:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Chúng ta biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Thay vào phương trình trên, ta có:
\[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin x + \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Áp dụng công thức cộng cho hàm sin: \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \), ta được:
\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Bây giờ, chúng ta có một phương trình lượng giác cơ bản: \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Chúng ta biết rằng \( \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Vậy phương trình trở thành:
\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \]

Từ đây, ta có hai trường hợp nghiệm tổng quát:

Trường hợp 1:
\[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
(với \( k \in \mathbb{Z} \))
Chuyển \( \frac{\pi}{4} \) sang vế phải, ta được:
\[ x = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
\[ x = k2\pi \]

Trường hợp 2:
\[ x + \frac{\pi}{4} = \pi – \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
(với \( k \in \mathbb{Z} \))
Đầu tiên, tính \( \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \):
\[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \]
Chuyển \( \frac{\pi}{4} \) sang vế phải, ta được:
\[ x = \frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
\[ x = \frac{2\pi}{4} + k2\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \]

Bước 3: Tìm nghiệm trên khoảng \( (0; \pi) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các giá trị của \( k \) để tìm nghiệm thuộc khoảng \( (0; \pi) \). Khoảng này không bao gồm các giá trị 0 và \( \pi \).

Xét Trường hợp 1: \( x = k2\pi \)

• Nếu \( k = 0 \Rightarrow x = 0 \). Giá trị này không thuộc khoảng \( (0; \pi) \).
• Nếu \( k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \). Giá trị này không thuộc khoảng \( (0; \pi) \).
• Với các giá trị \( k \) khác, \( x \) sẽ nằm ngoài khoảng \( (0; \pi) \).

Vậy, Trường hợp 1 không cho nghiệm nào trong khoảng đã cho.

Xét Trường hợp 2: \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \)

• Nếu \( k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \). Giá trị này thuộc khoảng \( (0; \pi) \) vì \( 0 < \frac{\pi}{2} < \pi \).
• Nếu \( k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). Giá trị này không thuộc khoảng \( (0; \pi) \).
• Nếu \( k = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} – 1 \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \). Giá trị này không thuộc khoảng \( (0; \pi) \).
• Với các giá trị \( k \) khác, \( x \) sẽ nằm ngoài khoảng \( (0; \pi) \).

Vậy, Trường hợp 2 cho ta một nghiệm duy nhất là \( x = \frac{\pi}{2} \) trong khoảng đã cho.

Bước 4: Kết luận

Trên khoảng \( (0; \pi) \), phương trình \( \sin x + \cos x = 1 \) có duy nhất một nghiệm là \( x = \frac{\pi}{2} \).

Vậy, số nghiệm của phương trình là 1.

Các em thấy đó, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta áp dụng đúng công thức và thực hiện từng bước một cách cẩn thận, kết quả sẽ rất rõ ràng. Nhớ kiểm tra điều kiện của khoảng nữa nhé, đó là một phần rất quan trọng để không bỏ sót hoặc nhận nhầm nghiệm!

Chúc các em học tốt và luôn tự tin khi giải toán!