Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài toán quen thuộc trong chương trình Toán 11, kết hợp giữa việc giải phương trình lượng giác cơ bản và tìm nghiệm trên một đoạn cho trước.

Lời giải chi tiết

Để tìm số nghiệm thực của phương trình trên đoạn cho trước, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
• Bước 2: Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
• Bước 3: Dựa vào điều kiện đoạn \([-\frac{3\pi }{2};10\pi]\) để tìm các giá trị nguyên của \(k\), từ đó suy ra số nghiệm.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải nhé.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng lượng giác cơ bản
Ta có phương trình: \(2\sin x + 1 = 0\)
Chuyển vế và chia hai vế cho 2, ta được:
\(2\sin x = -1\)
\(\Leftrightarrow \sin x = -\frac{1}{2}\)

Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
Chúng ta cần giải phương trình \(\sin x = -\frac{1}{2}\).
Ta biết rằng \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\). Do đó, phương trình trở thành:
\(\sin x = \sin(-\frac{\pi}{6})\)
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình \(\sin u = \sin v\), ta có hai họ nghiệm:
\[\begin{cases} u = v + k2\pi \\ u = \pi – v + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Áp dụng vào bài toán, ta có hai họ nghiệm cho \(x\):

• \(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)
• \(x = \pi – (-\frac{\pi}{6}) + k2\pi = \frac{7\pi}{6} + k2\pi\)

với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Bước 3: Tìm các nghiệm thuộc đoạn \([-\frac{3\pi }{2};10\pi]\)
Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng họ nghiệm và tìm các giá trị \(k\) nguyên sao cho nghiệm \(x\) nằm trong đoạn \([-\frac{3\pi }{2};10\pi]\).

Trường hợp 1: Với họ nghiệm \(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\).
Ta có bất phương trình:
\(-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} + k2\pi \le 10\pi\)
Để đơn giản, ta chia tất cả các vế cho \(\pi\):
\(-\frac{3}{2} \le -\frac{1}{6} + 2k \le 10\)
Cộng \(\frac{1}{6}\) vào tất cả các vế:
\(-\frac{3}{2} + \frac{1}{6} \le 2k \le 10 + \frac{1}{6}\)
\(-\frac{8}{6} \le 2k \le \frac{61}{6}\)
\(-\frac{4}{3} \le 2k \le \frac{61}{6}\)
Chia tất cả các vế cho 2:
\(-\frac{2}{3} \le k \le \frac{61}{12}\)
Chuyển sang giá trị thập phân để dễ xác định \(k\):
\(-0.66… \le k \le 5.08…\)
Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị của \(k\) là: \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}\).
Vậy, trường hợp này có 6 nghiệm.

Trường hợp 2: Với họ nghiệm \(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi\).
Ta có bất phương trình:
\(-\frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{6} + k2\pi \le 10\pi\)
Chia tất cả các vế cho \(\pi\):
\(-\frac{3}{2} \le \frac{7}{6} + 2k \le 10\)
Trừ \(\frac{7}{6}\) ở tất cả các vế:
\(-\frac{3}{2} – \frac{7}{6} \le 2k \le 10 – \frac{7}{6}\)
\(-\frac{16}{6} \le 2k \le \frac{53}{6}\)
\(-\frac{8}{3} \le 2k \le \frac{53}{6}\)
Chia tất cả các vế cho 2:
\(-\frac{4}{3} \le k \le \frac{53}{12}\)
Chuyển sang giá trị thập phân:
\(-1.33… \le k \le 4.41…\)
Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị của \(k\) là: \(k \in \{-1; 0; 1; 2; 3; 4\}\).
Vậy, trường hợp này có 6 nghiệm.

Kết luận
Tổng số nghiệm của phương trình trên đoạn \([-\frac{3\pi }{2};10\pi]\) là tổng số nghiệm từ hai trường hợp trên.
Số nghiệm = 6 + 6 = 12.

Vậy, phương trình đã cho có 12 nghiệm thực trên đoạn \([-\frac{3\pi }{2};10\pi]\).

Chọn đáp án A.