Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán so sánh lũy thừa khá thú vị. Bài này nằm trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức và so sánh số.

Đề bài yêu cầu chúng ta so sánh hai số: 3²¹⁰ và 2³⁵⁰.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hiệu quả, đó là đưa hai số về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Trong trường hợp này, việc đưa về cùng cơ số là không khả thi vì 3 và 2 là các số nguyên tố khác nhau. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm cách đưa hai lũy thừa này về cùng số mũ.

Các em hãy nhớ lại kiến thức về lũy thừa đã học: a^m . aⁿ = a^m+n và (a^m)ⁿ = a^m.n. Đặc biệt, chúng ta sẽ sử dụng tính chất (a^m)ⁿ = a^m.n để làm bài toán này.

Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số mũ 210 và 350.
Tại sao chúng ta cần tìm ƯCLN? Vì nếu chúng ta đưa về cùng số mũ là một ước của cả hai số mũ ban đầu, chúng ta có thể tách chúng ra thành các lũy thừa có số mũ đó.

Để tìm ƯCLN(210, 350), chúng ta phân tích hai số này ra thừa số nguyên tố:

Phân tích 210:
210 = 2 * 105
105 = 3 * 35
35 = 5 * 7
Vậy, 210 = 2 3 5 * 7

Phân tích 350:
350 = 10 * 35
10 = 2 * 5
35 = 5 * 7
Vậy, 350 = 2 5 5 7 = 2 5² * 7

Bây giờ, chúng ta chọn các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất:
Các thừa số nguyên tố chung là 2, 5, và 7.
Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 (trong cả hai phân tích).
Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 (trong phân tích 210 là 5¹, trong phân tích 350 là 5²).
Số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 (trong cả hai phân tích).

Vậy, ƯCLN(210, 350) = 2 5 7 = 70.

Bước 2: Viết lại hai lũy thừa ban đầu với số mũ là 70.
Chúng ta sẽ sử dụng công thức (a^m)ⁿ = a^m.n.
Trong đó, ta cần tìm m sao cho m 70 = 210 và m’ sao cho m’ 70 = 350.

Đối với số 3²¹⁰:
Ta có: 210 = 3 * 70.
Vậy, 3²¹⁰ = 3^{3 * 70} = (3³)⁷⁰.
Tính giá trị của 3³: 3³ = 3 3 3 = 27.
Do đó, 3²¹⁰ = 27⁷⁰.

Đối với số 2³⁵⁰:
Ta có: 350 = 5 * 70.
Vậy, 2³⁵⁰ = 2^{5 * 70} = (2⁵)⁷⁰.
Tính giá trị của 2⁵: 2⁵ = 2 2 2 2 2 = 32.
Do đó, 2³⁵⁰ = 32⁷⁰.

Bước 3: So sánh hai lũy thừa mới tìm được.
Bây giờ, chúng ta cần so sánh 27⁷⁰ và 32⁷⁰.
Khi hai lũy thừa có cùng số mũ dương, chúng ta chỉ cần so sánh hai cơ số của chúng.
Cơ số của lũy thừa thứ nhất là 27.
Cơ số của lũy thừa thứ hai là 32.

Vì 27 < 32, nên ta có: 27⁷⁰ < 32⁷⁰.

Bước 4: Kết luận.
Thay thế lại các giá trị ban đầu vào bất đẳng thức vừa tìm được:
Vì 27⁷⁰ = 3²¹⁰ và 32⁷⁰ = 2³⁵⁰, nên ta có:
3²¹⁰ < 2³⁵⁰.

Vậy, số 3²¹⁰ bé hơn số 2³⁵⁰.

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách so sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ. Các em hãy nhớ ôn tập thật kỹ để có thể giải tốt các dạng bài tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!