Cứu , ai nhanh và đúng cho ctlhn ạ
2)Hãy so sánh:
a)3^210 và 2^350
b)3^21 và 2^3…
2)Hãy so sánh:
a)3^210 và 2^350
b)3^21 và 2^31
c)4^30 và 3.24^10
d)202^303 và 303^202
Chúng ta sẽ đi vào từng câu một.
a) So sánh 3^210 và 2^350
Để so sánh hai lũy thừa này, chúng ta sẽ cố gắng đưa chúng về cùng số mũ hoặc cùng cơ số. Tuy nhiên, trong trường hợp này, việc đưa về cùng cơ số là không khả thi. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm cách đưa về cùng số mũ.
Chúng ta nhận thấy rằng cả hai số mũ 210 và 350 đều chia hết cho 70.
Ta có:
210 = 70 * 3
350 = 70 * 5
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng tính chất của lũy thừa: \(a^{m \cdot n} = (a^m)^n\).
Với 3^210, ta có:
3^210 = 3^(70 * 3) = (3^3)^70
Tính toán 3^3:
3^3 = 3 3 3 = 27
Vậy, 3^210 = 27^70
Với 2^350, ta có:
2^350 = 2^(70 * 5) = (2^5)^70
Tính toán 2^5:
2^5 = 2 2 2 2 2 = 32
Vậy, 2^350 = 32^70
Bây giờ, chúng ta cần so sánh 27^70 và 32^70.
Vì 27 < 32, nên 27^70 < 32^70.
Do đó, 3^210 < 2^350.
b) So sánh 3^21 và 2^31
Tương tự câu trên, chúng ta sẽ tìm cách đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số. Việc đưa về cùng cơ số là không dễ. Chúng ta thử đưa về cùng số mũ.
Ta thấy 21 và 31 không có ước chung lớn nhất nào đáng kể để có thể biến đổi dễ dàng. Tuy nhiên, chúng ta có thể tìm cách đưa về gần nhau.
Hãy thử biến đổi một chút:
3^21 = 3 * 3^20
2^31 = 2 * 2^30
Bây giờ ta cần so sánh 3^20 và 2^30.
Ta có:
3^20 = (3^2)^10 = 9^10
2^30 = (2^3)^10 = 8^10
Vì 9 > 8, nên 9^10 > 8^10.
Tức là 3^20 > 2^30.
Quay lại bài toán ban đầu:
3^21 = 3 * 3^20
2^31 = 2 * 2^30
Vì 3^20 > 2^30, ta không thể kết luận ngay lập tức được.
Chúng ta cần một cách tiếp cận khác.
Hãy thử biến đổi:
3^21 = 3^21
2^31 = 2^31
Ta nhận thấy 2^31 có vẻ lớn hơn. Hãy thử ước lượng.
3^2 = 9, 3^3 = 27
2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32
Ta có thể so sánh như sau:
3^21 = 3 3^20 = 3 (3^2)^10 = 3 * 9^10
2^31 = 2 2^30 = 2 (2^3)^10 = 2 * 8^10
Bây giờ ta cần so sánh 3 9^10 và 2 8^10.
Ta đã biết 9^10 > 8^10.
Nhưng hệ số nhân là 3 và 2.
Chúng ta hãy thử đưa về cùng số mũ bằng cách chia.
21/7 = 3, 31/7 không nguyên.
21/3 = 7, 31/3 không nguyên.
Hãy thử cách khác:
Chúng ta có thể so sánh \( \frac{3^{21}}{2^{31}} \) với 1.
\( \frac{3^{21}}{2^{31}} = \frac{3^{21}}{2^{21}} \cdot \frac{1}{2^{10}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{21} \cdot \frac{1}{2^{10}} \)
\( \left(\frac{3}{2}\right)^{21} = \left(1.5\right)^{21} \)
\( 2^{10} = 1024 \)
Đây là cách dùng số thập phân và không phù hợp với lớp 6.
Quay lại với việc đưa về lũy thừa có số mũ gần nhau.
Ta có:
3^21 = (3^7)^3
2^31 = 2^31
Hoặc:
3^21 = 3 3^20 = 3 (3^2)^10 = 3 * 9^10
2^31 = 2 2^30 = 2 (2^3)^10 = 2 * 8^10
Ta có \( \frac{3^{21}}{2^{31}} \).
Xét \( \frac{3^2}{2^3} = \frac{9}{8} > 1 \).
Xét \( \frac{3^3}{2^5} = \frac{27}{32} < 1 \).
Hãy thử làm như sau:
3^21 = 3 3^20 = 3 (3^2)^10 = 3 * 9^10
2^31 = 2 2^30 = 2 (2^3)^10 = 2 * 8^10
Ta đã biết 9^10 > 8^10.
Ta sẽ so sánh 3^21 và 2^31.
Chúng ta sẽ ước lượng bằng cách so sánh các số mũ nhỏ hơn.
3^2 = 9
2^3 = 8
Do đó 3^2 > 2^3.
Bây giờ ta cần so sánh 3^21 và 2^31.
Ta sẽ cố gắng đưa về cùng số mũ.
Chia số mũ cho ước chung là 1, không giúp ích.
Thử chia 21 và 31 cho các số nhỏ.
21 = 7 * 3
31 không chia hết cho 7 hay 3.
Hãy thử cách so sánh các lũy thừa nhỏ:
3^2 = 9
2^3 = 8
=> 3^2 > 2^3
Ta có thể viết:
3^21 = 3 * 3^20
2^31 = 2 * 2^30
Ta cần so sánh \( 3 \cdot 3^{20} \) và \( 2 \cdot 2^{30} \).
Chia cả hai vế cho \( 2^{20} \) ta cần so sánh \( 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{20} \) và \( 2 \cdot 2^{10} \).
Điều này phức tạp.
Chúng ta hãy thử cách khác:
3^21 = (3^3)^7 = 27^7
2^31 = 2^31 (không đưa về số mũ 7 được)
Ta có thể nhận thấy rằng 2^31 có vẻ lớn hơn.
Hãy thử xem xét \( \frac{3^{21}}{2^{31}} \).
Ta có thể viết lại như sau:
3^21 = 3 3^20 = 3 (3^2)^10 = 3 * 9^10
2^31 = 2 2^30 = 2 (2^3)^10 = 2 * 8^10
Bây giờ, ta so sánh \( 3 \cdot 9^{10} \) và \( 2 \cdot 8^{10} \).
Ta biết \( 9^{10} > 8^{10} \).
Tuy nhiên, chúng ta có hệ số là 3 và 2.
Hãy thử đánh giá \( \frac{3^{21}}{2^{31}} \) bằng cách xem xét \( (\frac{3}{2})^n \) cho các giá trị n khác nhau.
\( (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25 \)
\( (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8} = 3.375 \)
Cách tốt nhất cho lớp 6 là tìm cách đưa về cùng số mũ hoặc cơ số.
Ta nhận thấy 21 và 31 không có ước chung lớn.
Hãy thử cách này:
3^21 = 3^21
2^31 = 2^31
Ta có thể so sánh như sau:
3^21 = 3 3^20 = 3 (3^2)^10 = 3 * 9^10
2^31 = 2 2^30 = 2 (2^3)^10 = 2 * 8^10
Chúng ta cần so sánh \( 3 \cdot 9^{10} \) và \( 2 \cdot 8^{10} \).
Ta đã có \( 9^{10} > 8^{10} \).
Bây giờ ta xét tỉ lệ: \( \frac{3 \cdot 9^{10}}{2 \cdot 8^{10}} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^{10} \).
Vì \( \frac{9}{8} > 1 \), nên \( \left(\frac{9}{8}\right)^{10} > 1 \).
Và \( \frac{3}{2} > 1 \).
Do đó, \( \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^{10} > 1 \).
Điều này có nghĩa là \( 3 \cdot 9^{10} > 2 \cdot 8^{10} \).
Vậy, 3^21 > 2^31.
c) So sánh 4^30 và 3.24^10
Chúng ta sẽ đưa về cùng số mũ. Nhận thấy số mũ 30 và 10 có mối liên hệ.
4^30 = 4^(3 * 10) = (4^3)^10
Tính toán 4^3:
4^3 = 4 4 4 = 64
Vậy, 4^30 = 64^10
Bây giờ chúng ta cần so sánh 64^10 và 3.24^10.
Ta nhận thấy rằng cả hai số đều có lũy thừa là 10.
Chúng ta sẽ so sánh cơ số.
Cơ số thứ nhất là 64.
Cơ số thứ hai là 3 * 24.
Tính toán 3 * 24:
3 * 24 = 72
Bây giờ chúng ta so sánh 64^10 và 72^10.
Vì 64 < 72, nên 64^10 < 72^10.
Do đó, 4^30 < 3.24^10.
d) So sánh 202^303 và 303^202
Đây là một dạng bài so sánh mà hai cơ số và số mũ được hoán đổi. Chúng ta sẽ tìm cách đưa về cùng số mũ hoặc sử dụng tính chất của hàm số mũ (tuy nhiên, chúng ta sẽ cố gắng tránh sử dụng kiến thức vượt quá lớp 6).
Cách đơn giản nhất là đưa về cùng một số mũ nào đó mà cả 303 và 202 đều có thể chia hết hoặc làm cho chúng gần nhau. Tuy nhiên, 303 và 202 không có ước chung lớn.
Ta có thể chia cả hai lũy thừa cho một số nào đó để làm giảm số mũ.
Chia số mũ cho 101:
303 = 3 * 101
202 = 2 * 101
Bây giờ ta sẽ áp dụng tính chất \(a^{m \cdot n} = (a^m)^n\).
Với 202^303:
202^303 = 202^(101 * 3) = (202^3)^101
Với 303^202:
303^202 = 303^(101 * 2) = (303^2)^101
Bây giờ chúng ta cần so sánh (202^3)^101 và (303^2)^101.
Vì số mũ 101 là như nhau, chúng ta sẽ so sánh hai cơ số: 202^3 và 303^2.
Tính toán 202^3:
202^3 = 202 202 202.
Để ước lượng, ta có thể xem xét 200^3 = 200 200 200 = 8,000,000.
Cụ thể hơn:
202^2 = 40804
202^3 = 40804 * 202 = 8242408
Tính toán 303^2:
303^2 = 303 * 303.
Để ước lượng, ta có thể xem xét 300^2 = 90,000.
Cụ thể hơn:
303^2 = 91809
Bây giờ chúng ta so sánh 202^3 = 8242408 và 303^2 = 91809.
Rõ ràng 8242408 > 91809.
Tức là 202^3 > 303^2.
Vì 202^3 > 303^2, nên (202^3)^101 > (303^2)^101.
Do đó, 202^303 > 303^202.
Hy vọng với những lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách so sánh các lũy thừa. Hãy ôn tập kỹ các tính chất của lũy thừa và luyện tập thêm nhiều bài tập nữa nhé! Chúc các em học tốt!
\(#137\)
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải \(:\)
\(a) 3^210\) và \(2^350\)
Ta có \(: 3^210 = 3^3.70 = ( 3^3 )^70 = 27^10\)
\(2^350 = 2^5.70 = ( 2^5 )^70 = 32^70\)
Mà \(27 < 32\)
\(=> 27^70 < 32^72\)
hay \( 3^210 < 2^350\)
\(b) 3^21\) và \(2^31\)
Ta có \(: 3^21 = 3 .3^20 = 3 . ( 3^2 )^10 = 3 . 9^10\)
\(2^31 = 2 . 2^30 = 2 . ( 2^3 )^10 = 2 . 8^10\)
Ta thấy \( 2 < 3 ; 8^10 < 9^10\)
\(=> 3 . 9^10 > 2 . 8^10\)
hay \(3^21 > 2^31\)
\(c) 4^30\) và \(3 . 24^10\)
Ta có \(: 4^30 = 2^30 . 2^30 = 2^30 . ( 2^2 )^15 = 2^30 . 4^15 = 2^30 . 4^11 . 4^4 \)
\(3. 24^10 = 3 . ( 3 . 2^3 )^10 = 3\)
Mà \(4^11 . 4^4 > 3^11\) nên \(4^30 . 3 . 24^10\)
\(d) 202^303\) và \(303^202\)
\(202^303 = ( 202^3 )^101 = ( 8 . 101 . 102^2 )^101 = ( 808 . 101 )^101\)
\(303^202 = ( 3 . 101 )^2.101 = ( 3^2 . 101^2 )^101 = ( 9 . 101^2 )^101\)
Vì \(: 808 . 101^2 > 9 . 101^2\) nên \(202^303 > 303^202\)
\(a)\)
\(3^210 = 3^{3.70} = 27^70\)
\(2^350 = 2^{5.70} = 32^70\)
\(27<32\)
\(=> 27^70 < 32^70\)
\(=> 3^210 < 2^350
\)b)\(
\)3^21 = 3.3^20 = 3 . 3^{2.10} = 3.9^10\(
\)2^31 = 2 . 2^30 = 2.2^{3.10} = 2.8^10\(
\)3>2\(
\)9^10 > 8^10\(
\)=> 3.9^10 > 2.8^10\(
\)=> 3^21>2^31\(
\)c)\(
\)4^30 = 2^30 . 4^11.4^4\(
\)3.24^10 = 3^11.2^30\(
\)4^11.4^4 > 3^11\(
\)=> 4^30 > 3.24^10\(
\)d)\(
\)202^303 = (808.101)^101\(
\)303^202 = (9.101)^101\(
\)=>202^303>303^202`