Xin chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một dạng bài tập rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đó là biến đổi biểu thức lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ đi giải thích tại sao biểu thức sin x + cos x lại bằng \(\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\).

Các em lưu ý, để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào công thức cộng trong lượng giác, một kiến thức đã được học ở chương trình lớp 10 hoặc đầu lớp 11 tùy theo bộ sách mà các em đang theo học (Bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều đều có nội dung này).

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào chi tiết từng bước nhé:

Bước 1: Xác định mục tiêu

Mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức sin x + cos x về dạng \(\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\). Để làm được điều này, chúng ta cần sử dụng một kỹ thuật gọi là “nhân và chia cho một hằng số”.

Bước 2: Áp dụng kỹ thuật nhân và chia cho hằng số

Chúng ta nhận thấy rằng trong biểu thức mục tiêu có hệ số \(\sqrt{2}\). Vậy, chúng ta sẽ thử nhân và chia biểu thức sin x + cos x cho \(\sqrt{2}\).

Ta có:
sin x + cos x = \(\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)\)

Lý do: Chúng ta muốn đưa biểu thức về dạng xuất hiện \(\sqrt{2}\) ở phía ngoài, và bên trong ngoặc là các hệ số mà chúng ta có thể liên hệ với các giá trị lượng giác đặc biệt của các góc quen thuộc.

Bước 3: Tìm mối liên hệ với công thức cộng lượng giác

Bây giờ, chúng ta cần xem xét các hệ số \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) bên trong ngoặc. Chúng ta biết rằng:
\(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Chúng ta sẽ thay thế các giá trị này vào biểu thức ở Bước 2. Có hai cách để thực hiện, tùy thuộc vào việc chúng ta muốn sử dụng công thức sin (a+b) hay cos (a-b). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu biến đổi về dạng sin, nên chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng công thức sin (a+b).

Để sử dụng công thức \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\), chúng ta cần có dạng: \(\sin x \cos b + \cos x \sin b\).

So sánh với biểu thức của chúng ta: \(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\)>, ta thấy nó chưa khớp hoàn toàn với cấu trúc này.
Tuy nhiên, nếu ta đặt \(\cos b = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin b = \frac{1}{\sqrt{2}}\), thì ta có thể tìm được góc b. Giá trị góc b thỏa mãn cả hai điều kiện này chính là \(\frac{\pi}{4}\).

Do đó, biểu thức bên trong ngoặc có thể viết lại như sau:
\(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\)

Lý do: Chúng ta đã biến đổi các hệ số \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) thành các giá trị lượng giác của góc đặc biệt \(\frac{\pi}{4}\) để có thể áp dụng công thức cộng.

Bước 4: Áp dụng công thức cộng lượng giác

Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức cộng cho sin:
\(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)

Với a = x và b = \(\frac{\pi}{4}\), ta có:
\(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \sin(x + \frac{\pi}{4})\)

Lý do: Chúng ta đã nhận ra cấu trúc của công thức cộng sin trong biểu thức ở Bước 3 và áp dụng trực tiếp để rút gọn.

Bước 5: Kết hợp lại và đưa ra kết quả cuối cùng

Từ Bước 2 và Bước 4, ta có:
sin x + cos x = \(\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)\)
= \(\sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)\)
= \(\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\)

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng sin x + cos x = \(\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\).

Lưu ý thêm:
Tương tự, chúng ta cũng có thể biến đổi sin x + cos x về dạng \(\sqrt{2} \cos(x – \frac{\pi}{4})\) bằng cách sử dụng công thức cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b. Lúc đó, ta sẽ đặt \(\cos b = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin b = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Đây là một kỹ thuật rất hữu ích để đưa các biểu thức lượng giác có dạng \(a \sin x + b \cos x\) về dạng \(R \sin(x + \alpha)\) hoặc \(R \cos(x – \alpha)\), với \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Chúc các em học tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé.

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn