Chào các em, cô là giáo viên Toán lớp 11. Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và áp dụng các công thức đã học trong chương trình mới nhé.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta có thể chọn một trong các phương pháp sau:

• Biến đổi vế trái (VT) thành vế phải (VP).
• Biến đổi vế phải (VP) thành vế trái (VT).
• Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.

Trong bài toán này, cả hai vế đều có thể biến đổi được. Tuy nhiên, vế phải \( \frac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)} \) chứa các công thức góc nhân đôi, là một dạng rất quen thuộc để khai triển. Vì vậy, cô sẽ chọn phương pháp biến đổi vế phải thành vế trái.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của đẳng thức.

Trước hết, một giáo viên giỏi luôn nhắc học sinh phải tìm điều kiện để các biểu thức có nghĩa.

• Vế trái \( \tan(\frac{\pi}{4}+x) \) xác định khi \( \cos(\frac{\pi}{4}+x) \neq 0 \), tức là \( \frac{\pi}{4}+x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \).
• Vế phải \( \frac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)} \) xác định khi \( \cos(2x) \neq 0 \), tức là \( 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \).

Điều kiện \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \) (với \(k\) là số nguyên) là điều kiện chung để cả hai vế đều có nghĩa.

Bước 2: Bắt đầu biến đổi Vế Phải (VP).

Ta có: \( VP = \frac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)} \)

Lý do: Chúng ta sẽ sử dụng các công thức góc nhân đôi và hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để “mở” các biểu thức \( \sin(2x) \), \( \cos(2x) \) và số \(1\) ra thành các biểu thức chỉ chứa \( \sin(x) \) và \( \cos(x) \).

Các công thức cần áp dụng:

• \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)
• \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \)
• \( 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) \)

Giải thích lựa chọn công thức: Cô chọn \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \) vì nó có dạng hằng đẳng thức “hiệu của hai bình phương”, rất có tiềm năng để rút gọn với tử số. Việc thay \( 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) \) ở tử số sẽ giúp chúng ta tạo ra một hằng đẳng thức “bình phương của một tổng”.

Áp dụng các công thức trên vào vế phải:

\( VP = \frac{(\sin^2(x) + \cos^2(x)) + 2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x) – \sin^2(x)} \)

Nhìn vào tử số và mẫu số, các em có thấy chúng là các hằng đẳng thức đáng nhớ không nào?

• Tử số có dạng \( a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2 \) với \( a = \sin(x) \) và \( b = \cos(x) \).
• Mẫu số có dạng \( b^2 – a^2 = (b-a)(b+a) \).

Do đó, ta có thể viết lại như sau:

\( VP = \frac{(\sin(x) + \cos(x))^2}{(\cos(x) – \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))} \)

Với điều kiện xác định ở trên, ta có \( \cos(x) + \sin(x) \neq 0 \), nên ta có thể rút gọn nhân tử chung này ở cả tử và mẫu:

\( VP = \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) – \sin(x)} \)

Bước 3: Biến đổi biểu thức thu được về dạng của Vế Trái (VT).

Vế trái của chúng ta có chứa \( \tan \). Để từ biểu thức chứa \( \sin(x), \cos(x) \) mà chuyển về \( \tan(x) \), phương pháp quen thuộc là chia cả tử và mẫu cho \( \cos(x) \). (Với điều kiện \( \cos(x) \neq 0 \), vốn đã bao hàm trong điều kiện ban đầu).

\( VP = \frac{\frac{\cos(x)}{\cos(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\frac{\cos(x)}{\cos(x)} – \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \)

\( VP = \frac{1 + \tan(x)}{1 – \tan(x)} \)

Bước 4: Sử dụng công thức cộng của tang.

Bây giờ, chúng ta cần liên hệ biểu thức vừa tìm được với vế trái là \( \tan(\frac{\pi}{4}+x) \).

Ta nhớ lại công thức cộng cho tang:
\[ \tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \]
Áp dụng công thức này với \( a = \frac{\pi}{4} \) và \( b = x \), ta có:

\( \tan(\frac{\pi}{4}+x) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) + \tan(x)}{1 – \tan(\frac{\pi}{4})\tan(x)} \)

Mà chúng ta đều biết \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \). Thay giá trị này vào, ta được:

\( \tan(\frac{\pi}{4}+x) = \frac{1 + \tan(x)}{1 – 1 \cdot \tan(x)} = \frac{1 + \tan(x)}{1 – \tan(x)} \)

So sánh kết quả này với biểu thức của VP mà ta đã rút gọn ở Bước 3, ta thấy chúng hoàn toàn giống nhau.

\( VP = \frac{1 + \tan(x)}{1 – \tan(x)} = \tan(\frac{\pi}{4}+x) = VT \)

KẾT LUẬN

Vì \( VP = VT \), đẳng thức đã được chứng minh là đúng với mọi giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Qua bài tập này, các em hãy ghi nhớ phương pháp biến đổi bằng cách sử dụng linh hoạt các công thức góc nhân đôi và hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán 11.

Chúc các em học tốt