Bài toán của chúng ta như sau:
Thả một cục nước đá có khối lượng 30 g ở 0 độ C vào cốc nước có chứa 0,2 lít nước ở 20 độ C. Bỏ qua nhiệt dung của cốc. Biết nhiệt dung riêng của nước là 4,2 J/g.K, khối lượng riêng của nước là 1 gam trên cm khối, nhiệt nóng chảy riêng của nước đá là 334 J/kg. Nhiệt độ cuối của hỗn hợp là bao nhiêu?

Chúng ta sẽ đi từng bước một để giải quyết bài toán này.

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng đã cho.

Trước hết, chúng ta cần tóm tắt lại các thông tin mà đề bài đã cung cấp:
– Khối lượng nước đá: m_đá = 30 g
– Nhiệt độ ban đầu của nước đá: t_đá = 0 độ C
– Thể tích nước: V_nước = 0,2 lít
– Nhiệt độ ban đầu của nước: t_nước = 20 độ C
– Nhiệt dung riêng của nước: c_nước = 4,2 J/g.K
– Khối lượng riêng của nước: \(\rho_nước = 1 \text{ g/cm}^3\)
– Nhiệt nóng chảy riêng của nước đá: \(\lambda = 334 \text{ J/kg}\)
– Nhiệt dung của cốc: bỏ qua.

Chúng ta cần tìm nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp, ký hiệu là t.

Bước 2: Đổi đơn vị các đại lượng về cùng hệ đơn vị thống nhất.

Để tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ đổi tất cả các đơn vị về gam (g), độ C (hoặc Kelvin, vì hiệu nhiệt độ của hai đơn vị này là như nhau) và Jun (J).

– Khối lượng nước đá: m_đá = 30 g (đã ở đơn vị gam)
– Nhiệt độ ban đầu của nước đá: t_đá = 0 độ C
– Thể tích nước: V_nước = 0,2 lít. Chúng ta biết rằng 1 lít = 1 dm^3 = 1000 cm^3.
Do đó, V_nước = 0,2 lít * 1000 cm^3/lít = 200 cm^3.
– Khối lượng nước: m_nước = \(\rho_nước \times V_nước\).
m_nước = 1 g/cm^3 * 200 cm^3 = 200 g.
– Nhiệt độ ban đầu của nước: t_nước = 20 độ C.
– Nhiệt dung riêng của nước: c_nước = 4,2 J/g.K (Đơn vị này đã phù hợp với gam và độ C).
– Khối lượng riêng của nước: \(\rho_nước = 1 \text{ g/cm}^3\) (Đã sử dụng để tính khối lượng nước).
– Nhiệt nóng chảy riêng của nước đá: \(\lambda = 334 \text{ J/kg}\). Chúng ta cần đổi sang J/g.
Vì 1 kg = 1000 g, nên \(\lambda = 334 \text{ J/kg} = \frac{334 \text{ J}}{1000 \text{ g}} = 0,334 \text{ J/g}\).

Bước 3: Lập luận về quá trình truyền nhiệt.

Khi thả nước đá vào nước ấm, sẽ xảy ra quá trình truyền nhiệt. Nước ấm sẽ tỏa nhiệt để nguội đi, còn nước đá sẽ nhận nhiệt để tan chảy và sau đó nóng lên. Quá trình này sẽ diễn ra cho đến khi hệ đạt trạng thái cân bằng nhiệt, tức là toàn bộ nước đá đã tan hết và hỗn hợp đạt đến một nhiệt độ cuối cùng nào đó.

Chúng ta cần xem xét hai khả năng có thể xảy ra:
1. Toàn bộ nước đá tan chảy và hỗn hợp đạt một nhiệt độ cuối cùng lớn hơn 0 độ C.
2. Chỉ một phần nước đá tan chảy và hệ đạt cân bằng ở 0 độ C.

Dựa vào lượng nhiệt cần thiết để làm tan chảy toàn bộ nước đá và lượng nhiệt tối đa nước có thể tỏa ra, chúng ta sẽ xác định trường hợp nào xảy ra.

Bước 4: Tính lượng nhiệt cần thiết để nước đá tan chảy hoàn toàn.

Để nước đá từ 0 độ C tan chảy hoàn toàn thành nước ở 0 độ C, nó cần nhận một lượng nhiệt, gọi là nhiệt tan.
Công thức tính nhiệt tan là:
\(Q_{tan} = m_{đá} \times \lambda\)

Thay số vào, ta có:
\(Q_{tan} = 30 \text{ g} \times 0,334 \text{ J/g} = 10,02 \text{ J}\)

Đây là lượng nhiệt tối thiểu mà nước đá cần nhận để tan chảy.

Bước 5: Tính lượng nhiệt tối đa mà nước có thể tỏa ra để nguội xuống 0 độ C.

Nếu nước nguội hết cỡ xuống 0 độ C, nó sẽ tỏa ra một lượng nhiệt.
Công thức tính nhiệt lượng nước tỏa ra là:
\(Q_{tỏa} = m_{nước} \times c_{nước} \times (t_{nước} – 0)\)

Thay số vào, ta có:
\(Q_{tỏa} = 200 \text{ g} \times 4,2 \text{ J/g.K} \times (20 – 0) \text{ K}\)
\(Q_{tỏa} = 200 \times 4,2 \times 20 \text{ J}\)
\(Q_{tỏa} = 16800 \text{ J}\)

Bước 6: So sánh lượng nhiệt và xác định trường hợp xảy ra.

Ta thấy rằng:
\(Q_{tỏa} = 16800 \text{ J}\)
\(Q_{tan} = 10,02 \text{ J}\)

Rõ ràng, lượng nhiệt mà nước có thể tỏa ra khi nguội xuống 0 độ C (16800 J) lớn hơn rất nhiều so với lượng nhiệt cần thiết để làm tan chảy hoàn toàn nước đá (10,02 J). Điều này chứng tỏ rằng nước đá sẽ tan chảy hoàn toàn, và nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp sẽ lớn hơn 0 độ C.

Vì vậy, chúng ta rơi vào trường hợp 1.

Bước 7: Thiết lập phương trình cân bằng nhiệt.

Trong trường hợp này, nước tỏa nhiệt để nguội đi và để làm tan chảy nước đá, sau đó nước từ nước đá tan ra sẽ nóng lên.
Gọi t là nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp.
– Nhiệt lượng nước ban đầu tỏa ra để nguội từ 20 độ C xuống nhiệt độ t:
\(Q_{tỏa\_nước} = m_{nước} \times c_{nước} \times (t_{nước} – t)\)
\(Q_{tỏa\_nước} = 200 \times 4,2 \times (20 – t)\)

– Nhiệt lượng nước đá nhận để tan chảy hoàn toàn ở 0 độ C:
\(Q_{tan} = m_{đá} \times \lambda\)
\(Q_{tan} = 30 \times 0,334 = 10,02 \text{ J}\)

– Nhiệt lượng nước sinh ra từ nước đá tan chảy nhận để nóng lên từ 0 độ C đến nhiệt độ t:
\(Q_{nóng\_nước\_đá} = m_{đá} \times c_{nước} \times (t – 0)\)
\(Q_{nóng\_nước\_đá} = 30 \times 4,2 \times t\)

Theo nguyên lý truyền nhiệt, tổng nhiệt lượng tỏa ra bằng tổng nhiệt lượng thu vào:
\(Q_{tỏa\_nước} = Q_{tan} + Q_{nóng\_nước\_đá}\)

Thay các biểu thức vào phương trình:
\[ 200 \times 4,2 \times (20 – t) = 10,02 + 30 \times 4,2 \times t \]

Bước 8: Giải phương trình để tìm nhiệt độ cuối cùng t.

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình đại số này.
Nhân các hệ số:
\(840 \times (20 – t) = 10,02 + 126 \times t\)

Phân phối số 840 vào trong ngoặc:
\(16800 – 840t = 10,02 + 126t\)

Chuyển các số hạng chứa t về một vế và các hằng số về vế còn lại:
\(16800 – 10,02 = 126t + 840t\)
\(16789,98 = 966t\)

Chia cả hai vế cho 966 để tìm t:
\(t = \frac{16789,98}{966}\)
\(t \approx 17,38 \text{ độ C}\)

Bước 9: Kết luận.

Vậy, nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp là khoảng 17,38 độ C.

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Khi làm bài tập vật lý, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề, tóm tắt các đại lượng, đổi đơn vị và lập luận logic về quá trình truyền nhiệt.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!