Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập khá thú vị về căn bậc hai. Bài tập này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức dưới dấu căn.

Chúng ta có biểu thức: √(6-4√2)+√(11-6√2)

Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức này về dạng đơn giản hơn, không còn chứa căn bậc hai phức tạp bên trong. Để làm được điều này, chúng ta sẽ áp dụng kỹ thuật đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng. Cụ thể, chúng ta sẽ cố gắng biểu diễn các biểu thức dưới dấu căn có dạng \(a^2 – 2ab + b^2\) hoặc \(a^2 + 2ab + b^2\).

Chúng ta sẽ xử lý từng căn bậc hai một cách riêng biệt.

Bước 1: Xử lý căn thứ nhất: √(6-4√2)

Chúng ta cần tìm cách viết biểu thức \(6 – 4\sqrt{2}\) dưới dạng \((a-b)^2\).
Nhớ lại hằng đẳng thức: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Trong biểu thức \(6 – 4\sqrt{2}\), chúng ta thấy có số hạng \(4\sqrt{2}\). Chúng ta sẽ cố gắng phân tích nó thành dạng \(2ab\).
\(4\sqrt{2} = 2 \times 2 \times \sqrt{2}\)
Vậy, chúng ta có thể xem \(a\) và \(b\) là \(2\) và \(\sqrt{2}\) (hoặc ngược lại).

Nếu \(a=2\) và \(b=\sqrt{2}\), thì \(a^2 = 2^2 = 4\) và \(b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\).
Ta kiểm tra xem \(a^2 + b^2\) có bằng số hạng còn lại trong biểu thức \(6 – 4\sqrt{2}\) (tức là số 6) hay không.
\(a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6\).
Rất khớp!

Như vậy, \(6 – 4\sqrt{2}\) có thể được viết thành \(a^2 – 2ab + b^2\) với \(a=2\) và \(b=\sqrt{2}\).
\(6 – 4\sqrt{2} = 2^2 – 2 \times 2 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 – \sqrt{2})^2\)

Do đó, căn bậc hai đầu tiên trở thành:
√(6-4√2) = √((2 – √2)^2)

Nhớ lại kiến thức về căn bậc hai: \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Trong trường hợp này, chúng ta cần so sánh \(2\) và \(\sqrt{2}\).
Ta biết \(2^2 = 4\) và \((\sqrt{2})^2 = 2\). Vì \(4 > 2\), nên \(2 > \sqrt{2}\).
Do đó, \(2 – \sqrt{2} > 0\).
Vậy, |2 – √2| = 2 – √2.

Kết quả của căn thứ nhất là: √(6-4√2) = 2 – √2.

Bước 2: Xử lý căn thứ hai: √(11-6√2)

Tương tự như trên, chúng ta cần tìm cách viết biểu thức \(11 – 6\sqrt{2}\) dưới dạng \((a-b)^2\).
Hằng đẳng thức vẫn là: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Phân tích số hạng \(6\sqrt{2}\) thành dạng \(2ab\).
\(6\sqrt{2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2}\)
Vậy, chúng ta có thể xem \(a\) và \(b\) là \(3\) và \(\sqrt{2}\) (hoặc ngược lại).

Nếu \(a=3\) và \(b=\sqrt{2}\), thì \(a^2 = 3^2 = 9\) và \(b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\).
Ta kiểm tra xem \(a^2 + b^2\) có bằng số hạng còn lại trong biểu thức \(11 – 6\sqrt{2}\) (tức là số 11) hay không.
\(a^2 + b^2 = 9 + 2 = 11\).
Tuyệt vời, lại khớp!

Như vậy, \(11 – 6\sqrt{2}\) có thể được viết thành \(a^2 – 2ab + b^2\) với \(a=3\) và \(b=\sqrt{2}\).
\(11 – 6\sqrt{2} = 3^2 – 2 \times 3 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 – \sqrt{2})^2\)

Do đó, căn bậc hai thứ hai trở thành:
√(11-6√2) = √((3 – √2)^2)

Áp dụng \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Ta cần so sánh \(3\) và \(\sqrt{2}\).
Ta biết \(3^2 = 9\) và \((\sqrt{2})^2 = 2\). Vì \(9 > 2\), nên \(3 > \sqrt{2}\).
Do đó, \(3 – \sqrt{2} > 0\).
Vậy, |3 – √2| = 3 – √2.

Kết quả của căn thứ hai là: √(11-6√2) = 3 – √2.

Bước 3: Cộng hai kết quả lại

Bây giờ, chúng ta chỉ cần cộng hai kết quả vừa tìm được ở Bước 1 và Bước 2:
√(6-4√2)+√(11-6√2) = (2 – √2) + (3 – √2)

Thực hiện phép cộng:
= 2 – √2 + 3 – √2
= (2 + 3) + (-√2 – √2)
= 5 – 2√2

Vậy, kết quả cuối cùng của phép tính là 5 – 2√2.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững hằng đẳng thức và kỹ năng biến đổi biểu thức dưới dấu căn, chúng ta có thể giải quyết được những bài toán tưởng chừng phức tạp này.
Chúc các em học tốt!