Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2×2 + 3y2 = 77
Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước để tìm ra đáp án nhé!
Bước 1: Phân tích bài toán và các ràng buộc
* Đề bài cho phương trình: 2x² + 3y² = 77.
* Yêu cầu tìm các số tự nhiên x, y. Số tự nhiên bao gồm 0, 1, 2, 3,… . Điều này có nghĩa là x ≥ 0 và y ≥ 0.
Bước 2: Sử dụng tính chất của số chính phương và các ràng buộc để giới hạn phạm vi tìm kiếm
Vì x và y là các số tự nhiên, nên x² và y² cũng là các số không âm.
Chúng ta có thể ước lượng giá trị lớn nhất có thể của x và y dựa trên phương trình.
* Xét về y:
Vì 2x² ≥ 0, nên 3y² ≤ 77.
Do đó, y² ≤ 77 / 3 ≈ 25.67.
Vì y là số tự nhiên, nên y² có thể là 0, 1, 4, 9, 16, 25.
Suy ra, y có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2, 3, 4, 5.
* Xét về x:
Vì 3y² ≥ 0, nên 2x² ≤ 77.
Do đó, x² ≤ 77 / 2 = 38.5.
Vì x là số tự nhiên, nên x² có thể là 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36.
Suy ra, x có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Việc giới hạn phạm vi này giúp chúng ta thử các giá trị một cách có hệ thống hơn.
Bước 3: Lần lượt thử các giá trị có thể của y và kiểm tra xem x có phải là số tự nhiên hay không
Chúng ta sẽ ưu tiên thử với biến có phạm vi giá trị nhỏ hơn, ở đây là y (từ 0 đến 5). Với mỗi giá trị của y, chúng ta sẽ thay vào phương trình để tìm x.
* Trường hợp 1: y = 0
Thay y = 0 vào phương trình:
2x² + 3(0)² = 77
2x² = 77
x² = 77 / 2 = 38.5
Vì 38.5 không phải là số chính phương, nên x không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.
* Trường hợp 2: y = 1
Thay y = 1 vào phương trình:
2x² + 3(1)² = 77
2x² + 3 = 77
2x² = 77 – 3
2x² = 74
x² = 74 / 2 = 37
Vì 37 không phải là số chính phương, nên x không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.
* Trường hợp 3: y = 2
Thay y = 2 vào phương trình:
2x² + 3(2)² = 77
2x² + 3(4) = 77
2x² + 12 = 77
2x² = 77 – 12
2x² = 65
x² = 65 / 2 = 32.5
Vì 32.5 không phải là số chính phương, nên x không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.
* Trường hợp 4: y = 3
Thay y = 3 vào phương trình:
2x² + 3(3)² = 77
2x² + 3(9) = 77
2x² + 27 = 77
2x² = 77 – 27
2x² = 50
x² = 50 / 2 = 25
Vì x² = 25, nên x = 5 (vì x là số tự nhiên, ta chỉ lấy nghiệm dương).
Ta tìm được một cặp nghiệm (x, y) = (5, 3). Cặp này thỏa mãn cả hai điều kiện x và y là số tự nhiên.
* Trường hợp 5: y = 4
Thay y = 4 vào phương trình:
2x² + 3(4)² = 77
2x² + 3(16) = 77
2x² + 48 = 77
2x² = 77 – 48
2x² = 29
x² = 29 / 2 = 14.5
Vì 14.5 không phải là số chính phương, nên x không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.
* Trường hợp 6: y = 5
Thay y = 5 vào phương trình:
2x² + 3(5)² = 77
2x² + 3(25) = 77
2x² + 75 = 77
2x² = 77 – 75
2x² = 2
x² = 2 / 2 = 1
Vì x² = 1, nên x = 1 (vì x là số tự nhiên, ta chỉ lấy nghiệm dương).
Ta tìm được một cặp nghiệm (x, y) = (1, 5). Cặp này thỏa mãn cả hai điều kiện x và y là số tự nhiên.
Bước 4: Kiểm tra lại các cặp nghiệm tìm được
Chúng ta đã tìm được hai cặp số tự nhiên (x, y) là (5, 3) và (1, 5). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra lại chúng bằng cách thay vào phương trình ban đầu:
* Kiểm tra cặp (x, y) = (5, 3):
2(5)² + 3(3)² = 2(25) + 3(9) = 50 + 27 = 77.
Phương trình được thỏa mãn.
* Kiểm tra cặp (x, y) = (1, 5):
2(1)² + 3(5)² = 2(1) + 3(25) = 2 + 75 = 77.
Phương trình được thỏa mãn.
Kết luận:
Vậy, các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn phương trình 2x² + 3y² = 77 là (5, 3) và (1, 5).
Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán tìm nghiệm nguyên. Hãy nhớ rằng, việc phân tích kỹ đề bài, giới hạn phạm vi tìm kiếm và thử nghiệm một cách có hệ thống là chìa khóa để giải quyết các bài toán dạng này nhé!
\(\textit{Ta có: 2x² + 3y² = 77. (1)}\)
\(\textit{⇔ 3y² = 77 – 2y² ≤ 77.}\)
\(\textit{⇔ y² ≤ 25.}\)
\(\textit{Mà 2x² luôn luôn chẵn ∀ x ∈ N, 77 là số lẻ.}\)
\(\textit{⇒ y² ∈ {1; 9; 25}.}\)
\(\textit{TH1: y² = 1. ⇒ y = 1.}\)
\(\textit{(1) ⇔ 2x² + 3.1 = 77}\)
\(\textit{⇔ 2x² = 74.}\)
\(\textit{⇔ x² = 37. (không thoả mãn)}\)
\(\textit{TH2: y² = 9. ⇒ y = 3.}\)
\(\textit{(1) ⇔ 2x² + 3.9 = 77}\)
\(\textit{⇔ 2x² = 50}\)
\(\textit{⇔ x² = 25}\)
\(\textit{⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = -5 (loại)}\)
\(\textit{TH3: y² = 25. ⇒ y = 5.}\)
\(\textit{(1) ⇔ 2x² + 3.25 = 77}\)
\(\textit{⇔ 2x² = 2}\)
\(\textit{⇔ x² = 1}\)
\(\textit{⇔ x = 1 (nhận) hoặc x = -1 (loại)}\)
\(\textit{Vậy: Các cặp số thoả mãn là (x;y) = (3; 5), (5; 1).}\)
\(\textit{andychuongpham}\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(2x^2 + 3y^2 = 77\)
\(3y^2 = 77 – 2x^2\)
Do \(-2x^2 <= 0 ∀ x\)
\(-> 3y^2 <= 77\)
\(-> y^2 <= 77/3 = 25 2/3\)
Mà \(y \in NN -> y^2 \in NN\)
Lại có \(y^2\) là số chính phương
\(-> y^2 \in {0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25}\)
\(-> y \in {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}\)
Với \(y = 0 -> x^2 = 38,5\) (Loại)
Với \(y = 1 -> x^2 = 37\) (Loại do ko phải SCP)
Với \(y = 2 -> x^2 = 32,5\) (Loại)
Với \(y = 3 -> x^2 = 25 -> x =5\) (TM)
Với \(y = 4 -> x^2 = 14,5\) (Loại)
Với \(y = 5 -> x^2 = 1 -> = 1\) (TM)
Vậy \((x ; y) \in {(5 ; 3) ; (1 ; 5)}\)