Xin chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về tìm nghiệm nguyên trong chương trình Toán lớp 8. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về hằng đẳng thức và phương pháp biến đổi biểu thức.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
x² + 2y² + 2xy + y = 2

Trước hết, chúng ta sẽ phân tích biểu thức ở vế trái. Các em hãy quan sát kỹ xem có thể nhóm các hạng tử nào lại để tạo thành các hằng đẳng thức quen thuộc không.

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức

Chúng ta nhận thấy rằng có các hạng tử x², 2xy. Điều này gợi ý chúng ta liên kết chúng với (x+y)².
Ta có: (x+y)² = x² + 2xy + y²

Bây giờ, chúng ta quay lại với biểu thức ban đầu: x² + 2y² + 2xy + y = 2
Chúng ta có thể viết lại như sau:
(x² + 2xy + y²) + y² + y = 2

Thay (x+y)² vào, ta được:
(x+y)² + y² + y = 2

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào phần y² + y. Chúng ta có thể biến đổi nó để tạo thành một hằng đẳng thức liên quan đến y.
Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức (a+b)² = a² + 2ab + b².
Nếu ta xét y² + y, chúng ta có thể coi y² là a², còn y có thể là 2ab.
Nếu a = y, thì 2yb = y, suy ra b = 1/2.
Vậy, ta có thể tạo ra (y + 1/2)² = y² + y + 1/4.

Do đó, y² + y = (y + 1/2)² – 1/4.

Thay vào biểu thức chính:
(x+y)² + (y + 1/2)² – 1/4 + y = 2

Cách này có vẻ làm xuất hiện phân số, có thể sẽ hơi rắc rối một chút khi làm việc với số nguyên. Chúng ta thử xem có cách nào khác không.

Chúng ta hãy quay lại với biểu thức: (x+y)² + y² + y = 2

Thay vì biến đổi y² + y theo y, chúng ta thử biến đổi toàn bộ vế trái để nó trở thành một tổng các bình phương, hoặc một dạng dễ xét hơn.

Chúng ta có thể nhóm x² + 2xy + y² = (x+y)².
Vậy phương trình trở thành: (x+y)² + y² + y = 2

Để xử lý y² + y, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với 4 để loại bỏ phân số nếu có, hoặc để tạo ra các hệ số chẵn dễ xử lý hơn. Tuy nhiên, cách này có thể làm thay đổi tập nghiệm nếu ta không cẩn thận.

Chúng ta hãy thử một cách biến đổi khác. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến x trước.
x² + 2xy + 2y² + y – 2 = 0

Chúng ta có thể xem đây là một phương trình bậc hai theo biến x.
x² + (2y)x + (2y² + y – 2) = 0

Để phương trình này có nghiệm nguyên x, thì delta của nó phải là một số chính phương.
Delta (Δ) = b² – 4ac
Ở đây, a = 1, b = 2y, c = 2y² + y – 2.
Δ = (2y)² – 4(1)(2y² + y – 2)
Δ = 4y² – 8y² – 4y + 8
Δ = -4y² – 4y + 8

Để x là số nguyên, Δ phải là một số chính phương, tức là Δ = k² với k là một số nguyên không âm.
-4y² – 4y + 8 = k²

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của y sao cho -4y² – 4y + 8 là một số chính phương.
Hãy thử sắp xếp lại biểu thức này.
-4y² – 4y + 8 = – (4y² + 4y – 8)
Chúng ta có thể biến đổi 4y² + 4y thành (2y + 1)².
4y² + 4y + 1 = (2y + 1)²
Vậy 4y² + 4y = (2y + 1)² – 1.

Thay vào biểu thức của Δ:
Δ = – [ (2y + 1)² – 1 ] + 8
Δ = – (2y + 1)² + 1 + 8
Δ = – (2y + 1)² + 9

Vậy ta có: – (2y + 1)² + 9 = k²
Hay 9 – (2y + 1)² = k²

Vì k² ≥ 0, nên 9 – (2y + 1)² ≥ 0
Suy ra (2y + 1)² ≤ 9

Vì (2y + 1)² là bình phương của một số nguyên, nó phải là một số chính phương. Các số chính phương nhỏ hơn hoặc bằng 9 là 0, 1, 4, 9.

Xét các trường hợp cho (2y + 1)²:

Trường hợp 1: (2y + 1)² = 0
2y + 1 = 0
2y = -1
y = -1/2
Loại vì y phải là số nguyên.

Trường hợp 2: (2y + 1)² = 1
Có hai khả năng:
a) 2y + 1 = 1
2y = 0
y = 0
b) 2y + 1 = -1
2y = -2
y = -1

Trường hợp 3: (2y + 1)² = 4
Có hai khả năng:
a) 2y + 1 = 2
2y = 1
y = 1/2
Loại vì y phải là số nguyên.
b) 2y + 1 = -2
2y = -3
y = -3/2
Loại vì y phải là số nguyên.

Trường hợp 4: (2y + 1)² = 9
Có hai khả năng:
a) 2y + 1 = 3
2y = 2
y = 1
b) 2y + 1 = -3
2y = -4
y = -2

Vậy, các giá trị nguyên có thể có của y là: 0, -1, 1, -2.

Bây giờ, với mỗi giá trị nguyên của y, chúng ta sẽ thay vào phương trình ban đầu để tìm x.

Nhớ lại phương trình bậc hai cho x: x² + (2y)x + (2y² + y – 2) = 0
Và công thức nghiệm: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) hay \(x = \frac{-2y \pm \sqrt{-4y^2 – 4y + 8}}{2}\)

Chúng ta đã tính được Δ = 9 – (2y + 1)².

Xét y = 0:
Δ = 9 – (2*0 + 1)² = 9 – 1² = 9 – 1 = 8.
Đây không phải là số chính phương (vì \(k^2 = 8\) không có nghiệm nguyên k).
À, khoan đã các em. Khi chúng ta đặt Δ = k², thì k² phải là một số chính phương.
Ở đây, ta có 9 – (2y + 1)² = k².
Khi y = 0, 2y+1 = 1, (2y+1)² = 1.
Δ = 9 – 1 = 8. Đây không phải là số chính phương.
Tôi đã tính sai ở đâu đó chăng?

À, tôi quên mất rằng khi ta tìm các giá trị nguyên của y sao cho 9 – (2y + 1)² là một số chính phương (k²), thì các giá trị của y chỉ có thể là những giá trị làm cho 9 – (2y+1)² là một số chính phương.

Các giá trị của y chúng ta tìm được là 0, -1, 1, -2.
Ta hãy kiểm tra lại xem với các giá trị này, 9 – (2y + 1)² có phải là số chính phương không.

* Nếu y = 0: (2y + 1)² = (2*0 + 1)² = 1². 9 – 1 = 8. Không phải số chính phương.
Nếu y = -1: (2y + 1)² = (2(-1) + 1)² = (-1)². 9 – 1 = 8. Không phải số chính phương.
* Nếu y = 1: (2y + 1)² = (2*1 + 1)² = 3². 9 – 9 = 0. Đây là số chính phương (0²).
Nếu y = -2: (2y + 1)² = (2(-2) + 1)² = (-3)². 9 – 9 = 0. Đây là số chính phương (0²).

Vậy, chỉ có y = 1 và y = -2 mới làm cho Δ là một số chính phương.

Trường hợp 1: y = 1
Δ = 0.
Phương trình bậc hai cho x là: x² + (2*1)x + (2*1² + 1 – 2) = 0
x² + 2x + (2 + 1 – 2) = 0
x² + 2x + 1 = 0
Đây là hằng đẳng thức (x + 1)² = 0.
Vậy x + 1 = 0, suy ra x = -1.
Ta có cặp nghiệm nguyên đầu tiên: (-1; 1).
Kiểm tra lại: (-1)² + 2(1)² + 2(-1)(1) + 1 = 1 + 2 – 2 + 1 = 2. Đúng.

Trường hợp 2: y = -2
Δ = 0.
Phương trình bậc hai cho x là: x² + (2*(-2))x + (2*(-2)² + (-2) – 2) = 0
x² – 4x + (2*4 – 2 – 2) = 0
x² – 4x + (8 – 2 – 2) = 0
x² – 4x + 4 = 0
Đây là hằng đẳng thức (x – 2)² = 0.
Vậy x – 2 = 0, suy ra x = 2.
Ta có cặp nghiệm nguyên thứ hai: (2; -2).
Kiểm tra lại: (2)² + 2(-2)² + 2(2)(-2) + (-2) = 4 + 2*4 – 8 – 2 = 4 + 8 – 8 – 2 = 2. Đúng.

Vậy, chúng ta đã tìm được hai cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình là (-1; 1) và (2; -2).

Nhắc lại quy trình:**
1. Phân tích biểu thức và nhận ra có thể coi đây là phương trình bậc hai theo một biến.
2. Lập Delta cho phương trình bậc hai đó.
3. Đặt điều kiện Delta là một số chính phương.
4. Biến đổi biểu thức Delta để tìm các giá trị nguyên có thể có của biến còn lại (ở đây là y).
5. Với mỗi giá trị nguyên tìm được của y, kiểm tra xem Delta có thực sự là số chính phương không.
6. Nếu Delta là số chính phương, thay giá trị của y vào phương trình bậc hai ban đầu để tìm x.
7. Kiểm tra lại các cặp nghiệm tìm được.

Cách giải này là một cách tiếp cận phổ biến cho các bài toán tìm nghiệm nguyên dạng phương trình hai biến, đặc biệt khi nó có thể đưa về dạng phương trình bậc hai một biến với điều kiện Delta là số chính phương.

Các em có thể về nhà thử biến đổi biểu thức theo hướng khác, ví dụ như cố gắng đưa về tổng các bình phương xem có ra kết quả tương tự không nhé.

Bài học hôm nay của chúng ta kết thúc tại đây. Chúc các em học tốt!

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn