Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất hay và thú vị trong chương trình Toán lớp 8, đó là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Chúng ta sẽ dựa vào những kiến thức đã học trong Sách giáo khoa để làm bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hai biểu thức:
a) A = -x^2 – 6X – 10
b) B = -2x^2 + 8x – 15

Trước khi đi vào giải chi tiết, các em hãy nhớ lại kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học nhé. Đặc biệt là hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu.

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp “biến đổi về dạng bình phương” để tìm giá trị lớn nhất.

Phần a) Tìm giá trị lớn nhất của A = -x^2 – 6X – 10

Đầu tiên, cô sẽ nhóm các hạng tử chứa x lại và đặt dấu trừ ra ngoài để thuận tiện cho việc áp dụng hằng đẳng thức:
A = -(x^2 + 6x) – 10

Bây giờ, chúng ta cần làm xuất hiện một bình phương từ biểu thức trong ngoặc. Ta thấy có x^2 và 6x. Để tạo thành bình phương của một tổng (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, ta xác định a = x. Khi đó, 2ab = 6x, suy ra 2*x*b = 6x, vậy b = 3.

Để có b^2, ta cần cộng thêm 3^2 = 9 vào trong ngoặc. Tuy nhiên, đề bài không có sẵn số 9 này. Vì vậy, ta sẽ thêm và bớt 9 ngay bên trong ngoặc để không làm thay đổi giá trị của biểu thức:
A = -(x^2 + 6x + 9 – 9) – 10

Bây giờ, ta nhóm ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc lại để tạo thành bình phương của một tổng:
A = -((x^2 + 6x + 9) – 9) – 10

Áp dụng hằng đẳng thức (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9, ta có:
A = -((x + 3)^2 – 9) – 10

Tiếp theo, ta bỏ dấu ngoặc thứ hai, nhớ đổi dấu các hạng tử bên trong vì có dấu trừ đứng trước:
A = -(x + 3)^2 + 9 – 10

Cuối cùng, ta rút gọn các hằng số:
A = -(x + 3)^2 – 1

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức A = -(x + 3)^2 – 1.
Chúng ta biết rằng bình phương của một số luôn luôn không âm, tức là:
(x + 3)^2 >= 0 với mọi x.

Khi ta nhân với -1, dấu của bất đẳng thức sẽ đổi chiều:
-(x + 3)^2 <= 0 với mọi x. Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cộng thêm -1 vào cả hai vế của bất đẳng thức: -(x + 3)^2 - 1 <= 0 - 1 A <= -1 Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là -1. Dấu "=" xảy ra khi (x + 3)^2 = 0, tức là x + 3 = 0, suy ra x = -3. Phần b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -2x^2 + 8x – 15

Tương tự như phần a), chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa x và đặt dấu trừ ra ngoài. Tuy nhiên, ở đây có hệ số -2 trước x^2. Ta sẽ đặt -2 ra ngoài để trong ngoặc có x^2 với hệ số là 1:
B = -2(x^2 – 4x) – 15

Bây giờ, chúng ta tập trung vào biểu thức trong ngoặc: x^2 – 4x.
Để tạo thành bình phương của một hiệu (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2, ta xác định a = x. Khi đó, 2ab = 4x, suy ra 2*x*b = 4x, vậy b = 2.

Để có b^2, ta cần cộng thêm 2^2 = 4 vào trong ngoặc. Ta cũng sẽ thêm và bớt 4 ngay bên trong ngoặc:
B = -2(x^2 – 4x + 4 – 4) – 15

Nhóm ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc để tạo thành bình phương của một hiệu:
B = -2((x^2 – 4x + 4) – 4) – 15

Áp dụng hằng đẳng thức (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4, ta có:
B = -2((x – 2)^2 – 4) – 15

Bỏ dấu ngoặc thứ hai, nhớ đổi dấu các hạng tử bên trong:
B = -2(x – 2)^2 – 2*(-4) – 15
B = -2(x – 2)^2 + 8 – 15

Rút gọn các hằng số:
B = -2(x – 2)^2 – 7

Bây giờ, chúng ta xem xét biểu thức B = -2(x – 2)^2 – 7.
Ta biết rằng bình phương của một số luôn luôn không âm:
(x – 2)^2 >= 0 với mọi x.

Khi ta nhân với -2 (một số âm), dấu của bất đẳng thức sẽ đổi chiều:
-2(x – 2)^2 <= 0 với mọi x. Để tìm giá trị lớn nhất của B, ta cộng thêm -7 vào cả hai vế của bất đẳng thức: -2(x - 2)^2 - 7 <= 0 - 7 B <= -7 Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức B là -7. Dấu "=" xảy ra khi (x - 2)^2 = 0, tức là x - 2 = 0, suy ra x = 2. Như vậy là cô trò mình đã cùng nhau tìm ra giá trị lớn nhất của hai biểu thức bằng cách vận dụng kiến thức về hằng đẳng thức và tính chất của bình phương. Các em về nhà ôn tập kỹ các bước làm này nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!