Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác trên một đoạn cụ thể. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 12 của chúng ta, và thầy tin rằng với cách tiếp cận chi tiết, các em sẽ nắm vững kiến thức.

Chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sin^2 x \) trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước giải chi tiết nhé.

Bước 1: Tìm hiểu về hàm số và đoạn xét

Hàm số chúng ta đang xét là \( y = \sin^2 x \). Đây là một hàm số quen thuộc, là bình phương của hàm số \( \sin x \).

Đoạn xét là \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Trên đoạn này, chúng ta biết rằng hàm số \( \sin x \) có những tính chất đặc biệt.

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số \( \sin x \) trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \)

Chúng ta đã học về hàm số lượng giác cơ bản. Trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \), hàm số \( \sin x \) đồng biến. Điều này có nghĩa là:

Nếu \( x_1 < x_2 \) và \( x_1, x_2 \in [0; \frac{\pi}{2}] \), thì \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Cụ thể hơn, trên đoạn này: - Tại \( x = 0 \), \( \sin 0 = 0 \). - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \). Vậy, giá trị của \( \sin x \) trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \) nằm trong khoảng \( [0; 1] \). Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm số \( y = \sin^2 x \) trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \)

Bây giờ, chúng ta xét hàm số \( y = \sin^2 x \).

Vì \( \sin x \) đồng biến trên \( [0; \frac{\pi}{2}] \) và có giá trị không âm trên đoạn này (từ 0 đến 1), nên khi chúng ta bình phương giá trị của nó, hàm số \( \sin^2 x \) cũng sẽ đồng biến.

Để chứng minh điều này một cách chi tiết hơn mà không vượt lớp, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa về hàm đồng biến.

Giả sử \( 0 \le x_1 < x_2 \le \frac{\pi}{2} \). Vì \( \sin x \) đồng biến trên \( [0; \frac{\pi}{2}] \), ta có \( 0 \le \sin x_1 < \sin x_2 \le 1 \). Khi bình phương các số không âm, nếu \( a < b \), thì \( a^2 < b^2 \). Áp dụng điều này, ta có: \( (\sin x_1)^2 < (\sin x_2)^2 \) hay \( \sin^2 x_1 < \sin^2 x_2 \). Điều này chứng tỏ hàm số \( y = \sin^2 x \) đồng biến trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Vì hàm số \( y = \sin^2 x \) đồng biến trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \), nên giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt được tại điểm cuối cùng của đoạn đó, tức là tại \( x = \frac{\pi}{2} \).

Chúng ta tính giá trị của hàm số tại \( x = \frac{\pi}{2} \):
\( y_{max} = \sin^2 (\frac{\pi}{2}) \)
Ta biết \( \sin (\frac{\pi}{2}) = 1 \).
Vậy, \( y_{max} = 1^2 = 1 \).

Giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại \( x = 0 \), với \( y_{min} = \sin^2 (0) = 0^2 = 0 \).

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sin^2 x \) trên đoạn \( [0; \frac{\pi}{2}] \) là 1, đạt được khi \( x = \frac{\pi}{2} \).

Hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!