Xin chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài học ngày hôm nay.
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phân số. Bài toán yêu cầu tìm các cặp số nguyên dương x và y thỏa mãn phương trình:
1/x + 1/y = 1/5

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Quy đồng mẫu số và biến đổi phương trình.
Để giải bài toán này, việc đầu tiên chúng ta cần làm là quy đồng mẫu số hai phân số ở vế trái của phương trình.
Mẫu số chung nhỏ nhất của x và y là xy.
Khi đó, ta có:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} \]
Vậy, phương trình ban đầu trở thành:
\[ \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{5} \]
Bây giờ, chúng ta sẽ nhân chéo hai vế của phương trình để loại bỏ mẫu số.
\[ 5(x+y) = xy \]
\[ 5x + 5y = xy \]

Bước 2: Biến đổi để đưa về dạng tích.
Mục tiêu tiếp theo của chúng ta là đưa phương trình về dạng tích để dễ dàng tìm ra các giá trị nguyên của x và y.
Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ xy – 5x – 5y = 0 \]
Để có thể tạo thành tích, chúng ta sẽ thêm vào một hằng số thích hợp ở cả hai vế. Quan sát biểu thức, ta nhận thấy nếu có thêm “+25” thì ta có thể nhóm nhân tử chung.
\[ xy – 5x – 5y + 25 = 25 \]
Bây giờ, chúng ta có thể nhóm các hạng tử:
\[ x(y – 5) – 5(y – 5) = 25 \]
Nhóm nhân tử chung (y – 5) ra ngoài:
\[ (x – 5)(y – 5) = 25 \]
Đây là dạng phương trình tích mà chúng ta mong muốn.

Bước 3: Tìm các cặp thừa số nguyên của 25.
Vì x và y là các số nguyên dương, nên x – 5 và y – 5 cũng phải là các số nguyên.
Hơn nữa, vì 1/x + 1/y = 1/5 > 0, mà x, y nguyên dương nên x+y > 0. Từ phương trình 5(x+y) = xy, ta suy ra xy > 0. Do đó, x và y cùng dấu. Vì x, y nguyên dương nên cả hai đều dương.
Từ 1/x < 1/5 suy ra x > 5.
Từ 1/y < 1/5 suy ra y > 5.
Do đó, x – 5 > 0 và y – 5 > 0. Nghĩa là x – 5 và y – 5 là các ước nguyên dương của 25.
Các ước nguyên dương của 25 là: 1, 5, 25.
Vậy, chúng ta có các trường hợp sau cho cặp (x – 5, y – 5):

• Trường hợp 1: x – 5 = 1 và y – 5 = 25
• Trường hợp 2: x – 5 = 5 và y – 5 = 5
• Trường hợp 3: x – 5 = 25 và y – 5 = 1

Bước 4: Tìm giá trị của x và y trong mỗi trường hợp.

• Trường hợp 1:

x – 5 = 1 => x = 1 + 5 = 6
y – 5 = 25 => y = 25 + 5 = 30
Ta có cặp (x, y) = (6, 30).

• Trường hợp 2:

x – 5 = 5 => x = 5 + 5 = 10
y – 5 = 5 => y = 5 + 5 = 10
Ta có cặp (x, y) = (10, 10).

• Trường hợp 3:

x – 5 = 25 => x = 25 + 5 = 30
y – 5 = 1 => y = 1 + 5 = 6
Ta có cặp (x, y) = (30, 6).

Bước 5: Kiểm tra lại các nghiệm tìm được.
Chúng ta cần kiểm tra xem các cặp giá trị (x, y) tìm được có thỏa mãn phương trình ban đầu không.

• Với (x, y) = (6, 30):

1/6 + 1/30 = 5/30 + 1/30 = 6/30 = 1/5. (Thỏa mãn)

• Với (x, y) = (10, 10):

1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5. (Thỏa mãn)

• Với (x, y) = (30, 6):

1/30 + 1/6 = 1/30 + 5/30 = 6/30 = 1/5. (Thỏa mãn)

Vậy, các cặp số nguyên dương x và y thỏa mãn phương trình đã cho là (6, 30), (10, 10) và (30, 6).
Cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách giải dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết tổng nghịch đảo của chúng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Chúc các em học tốt!