Chào các em! Hôm nay, cô sẽ cùng các em giải bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 6x – x^2 – 5. Bài tập này thuộc dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức bậc hai, một dạng toán khá quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đặc biệt là với chương trình Sách giáo khoa mới. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước để tìm ra lời giải chính xác nhất nhé!

Bước 1: Biến đổi biểu thức B về dạng bình phương của một hiệu hoặc một tổng.

Mục tiêu của bước này là đưa biểu thức về dạng (a – b)^2 hoặc (a + b)^2. Lý do chúng ta làm vậy là vì bình phương của một số luôn luôn không âm, tức là (a – b)^2 >= 0 và (a + b)^2 >= 0. Điều này sẽ giúp chúng ta dễ dàng xác định giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức.

Ta có biểu thức:
B = 6x – x^2 – 5

Đầu tiên, cô sẽ nhóm các hạng tử chứa x^2 và x lại và đặt dấu trừ ra ngoài để hệ số của x^2 trở thành dương, giúp việc thêm bớt để tạo thành hằng đẳng thức dễ dàng hơn:
B = -(x^2 – 6x) – 5

Bây giờ, chúng ta tập trung vào phần trong ngoặc: x^2 – 6x. Để tạo thành bình phương của một hiệu, ta cần có dạng (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2. Ở đây, ta có a^2 là x^2, vậy a = x. Hạng tử -2ab tương ứng với -6x. Vậy ta có -2 x b = -6x, suy ra 2b = 6, hay b = 3.
Để hoàn thiện hằng đẳng thức, ta cần thêm vào b^2, tức là 3^2 = 9.

Vì vậy, ta sẽ thêm và bớt 9 vào trong ngoặc:
B = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 5

Tiếp theo, ta nhóm ba hạng tử đầu để tạo thành hằng đẳng thức (x – 3)^2:
B = -((x^2 – 6x + 9) – 9) – 5

Bây giờ, ta phân phối dấu trừ vào trong ngoặc thứ hai:
B = -(x – 3)^2 – (-9) – 5
B = -(x – 3)^2 + 9 – 5

Cuối cùng, ta rút gọn các hằng số:
B = -(x – 3)^2 + 4

Bước 2: Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.

Chúng ta đã biến đổi biểu thức B về dạng B = -(x – 3)^2 + 4.
Bây giờ, hãy xem xét từng thành phần của biểu thức này.

Ta biết rằng bình phương của bất kỳ số thực nào cũng luôn không âm. Do đó:
(x – 3)^2 >= 0 với mọi x.

Khi ta nhân một số không âm với -1, kết quả sẽ là một số không dương, tức là luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0:
-(x – 3)^2 <= 0 với mọi x. Bây giờ, ta cộng thêm 4 vào cả hai vế của bất đẳng thức này: -(x - 3)^2 + 4 <= 0 + 4 -(x - 3)^2 + 4 <= 4 Vậy là chúng ta đã có B <= 4. Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất của B là 4. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất. Có vẻ như cô đã nhầm lẫn giữa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong quá trình giải thích. Cô xin lỗi về sự nhầm lẫn này. Chúng ta hãy xem lại đề bài và cách biến đổi. À, cô đã nhận ra vấn đề. Khi biểu thức có dạng -(x - 3)^2, thì giá trị của nó luôn không dương. Khi cộng thêm một số dương vào, chúng ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét dấu của hệ số trước x^2. Trong biểu thức B = 6x – x^2 – 5, hệ số của x^2 là -1. Khi hệ số của x^2 là âm, biểu thức bậc hai có dạng parabol quay bề lõm xuống dưới, tức là nó sẽ có giá trị lớn nhất chứ không có giá trị nhỏ nhất (nó có thể tiến đến âm vô cùng).

Cô xin lỗi các em một lần nữa vì sự nhầm lẫn. Có lẽ đề bài có một chút “gài bẫy” hoặc cô đã đọc nhầm đề bài. Nếu đề bài thực sự yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của B = 6x – x^2 – 5, thì câu trả lời là biểu thức này không có giá trị nhỏ nhất.

Tuy nhiên, nếu đề bài thực sự là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6x – x^2 – 5, thì chúng ta đã làm đúng ở các bước trên.
Chúng ta có B = -(x – 3)^2 + 4.
Vì -(x – 3)^2 <= 0 với mọi x, nên B = -(x - 3)^2 + 4 <= 0 + 4 = 4. Dấu "=" xảy ra khi -(x - 3)^2 = 0, tức là x - 3 = 0, hay x = 3. Vậy, giá trị lớn nhất của B là 4, đạt được khi x = 3. Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất và đề bài là đúng, thì câu trả lời là: Biểu thức B = 6x – x^2 – 5 không có giá trị nhỏ nhất.

Lý do:
Biểu thức B có thể được viết lại dưới dạng B = -(x – 3)^2 + 4.
Ta biết rằng (x – 3)^2 luôn >= 0.
Do đó, -(x – 3)^2 luôn <= 0. Khi x tiến đến âm vô cùng hoặc dương vô cùng, -(x - 3)^2 sẽ tiến đến âm vô cùng. Vì vậy, B = -(x - 3)^2 + 4 cũng sẽ tiến đến âm vô cùng. Do đó, không có một giá trị nhỏ nhất xác định cho B. Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách phân tích bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!