Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x²+2x-5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x²+2x-5
Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập sau đây, dựa trên Sách giáo khoa nhé.
Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x²+2x-5
Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận từng bước giải của thầy.
Bước 1: Nhận dạng biểu thức và mục tiêu
Biểu thức A = x²+2x-5 là một tam thức bậc hai có dạng tổng quát là ax²+bx+c, với a=1, b=2, c=-5.
Vì hệ số a = 1 > 0, nên đồ thị của hàm số y = x²+2x-5 là một parabol có bề lõm quay lên trên. Điều này có nghĩa là hàm số sẽ có một giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.
Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol
Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x²+2x-5.
Hoành độ đỉnh (x_đ) của parabol được tính bằng công thức:
\[ x_đ = \frac{-b}{2a} \]
Trong trường hợp này, a=1 và b=2, nên ta có:
\[ x_đ = \frac{-2}{2 \times 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Tung độ đỉnh (y_đ) chính là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Chúng ta thay x = x_đ vào biểu thức A để tính y_đ:
A = (-1)² + 2(-1) – 5
A = 1 – 2 – 5
A = -1 – 5
A = -6
Bước 3: Kết luận
Vì parabol có bề lõm quay lên trên, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức A chính là tung độ đỉnh.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x²+2x-5 là -6.
Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi x = -1.
Cách khác: Sử dụng phương pháp biến đổi về dạng bình phương
Chúng ta cũng có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách biến đổi biểu thức A về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.
A = x²+2x-5
Chúng ta sẽ nhóm hai hạng tử đầu tiên lại và tìm cách tạo thành một bình phương.
Nhớ lại hằng đẳng thức (a+b)² = a² + 2ab + b².
Ở đây, ta có x² và 2x. Ta có thể coi x² là a² và 2x là 2ab. Vậy, a=x.
Để 2ab = 2x, thì b phải bằng 1 (vì 2 x 1 = 2x).
Do đó, chúng ta cần có thêm b² = 1² = 1.
Ta sẽ thêm và bớt 1 vào biểu thức A:
A = (x² + 2x + 1) – 1 – 5
A = (x+1)² – 6
Bây giờ, chúng ta phân tích biểu thức A = (x+1)² – 6.
Ta biết rằng với mọi số thực x, bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
\[ (x+1)² \ge 0 \]
Do đó, để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất, thì (x+1)² phải đạt giá trị nhỏ nhất có thể, tức là bằng 0.
(x+1)² = 0 khi x+1 = 0, suy ra x = -1.
Khi (x+1)² = 0, giá trị của A sẽ là:
A = 0 – 6
A = -6
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x²+2x-5 là -6.
Cả hai cách đều cho ta cùng một kết quả. Các em thấy đấy, việc hiểu rõ bản chất của hàm số bậc hai và cách biến đổi biểu thức là rất quan trọng.
Các em hãy xem lại bài giải và nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé. Chúng ta sẽ tiếp tục luyện tập thêm các dạng bài tương tự trong các buổi học tới.
Chúc các em học tốt!
\(A=x^2+2x-5\)
\(=(x^2+2x+1)-6\)
\(=(x+1)^2-6\)
Vì \((x+1)^2>=0AAx\)
\(=> A>=-6\)
Dấu \(“=”\) xảy ra \(<=> x+1=0<=>x=-1\)
Vậy GTNN của \(A=-6\) tại \(x=-1\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\( A=x²+2x-5 \)
\( = (x+1)²-6 \)
Vì \((x+1)² ≥ 0 ∀ x \)
\( ⇒ (x+1)²-6 ≥ -6 ∀ x\)
Dấu \(=\) xảy ra khi
\(x+1=0 \)
\( ⇔ x=-1 \)
Vậy \(MIn_A=-6 ⇔ x=-1 \)