Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất thú vị trong chương trình Toán lớp 8, đó là tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.

Chúng ta sẽ đi vào từng bài tập cụ thể.

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I = 3x – 9x^2 – 1

Trước hết, cô sẽ viết lại biểu thức I một chút để chúng ta dễ nhìn hơn:
I = -9x^2 + 3x – 1

Các em thấy biểu thức này có chứa hạng tử x^2 với hệ số âm (-9). Khi gặp dạng biểu thức này, chúng ta nghĩ ngay đến việc “hoàn thành bình phương” để đưa về dạng (a – b)^2 hoặc (b – a)^2.

Bước 1: Đặt thừa số chung là -1 ra ngoài dấu ngoặc.
I = -(9x^2 – 3x + 1)

Bước 2: Biến đổi biểu thức trong ngoặc về dạng bình phương.
Chúng ta nhận thấy 9x^2 chính là (3x)^2. Hạng tử 3x thì ta có thể viết là 2 (3x) (1/2).
Để có dạng bình phương (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2, ta cần có b^2. Ở đây, b là 1/2, vậy b^2 sẽ là (1/2)^2 = 1/4.

Vậy ta sẽ thêm và bớt 1/4 vào trong ngoặc:
I = -( (9x^2 – 3x + 1/4) – 1/4 + 1 )

Bước 3: Gom các hạng tử tạo thành bình phương.
Ta thấy (9x^2 – 3x + 1/4) chính là (3x – 1/2)^2.
Bây giờ, biểu thức trở thành:
I = -( (3x – 1/2)^2 – 1/4 + 1 )

Bước 4: Rút gọn các hằng số và phân phối dấu trừ.
-1/4 + 1 = -1/4 + 4/4 = 3/4.
Vậy ta có:
I = -( (3x – 1/2)^2 + 3/4 )

Tiếp tục phân phối dấu trừ:
I = -(3x – 1/2)^2 – 3/4

Bây giờ, các em hãy quan sát biểu thức cuối cùng này.
Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
(3x – 1/2)^2 >= 0 với mọi x.

Do đó, -(3x – 1/2)^2 sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0:
-(3x – 1/2)^2 <= 0 với mọi x. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức I sẽ là khi -(3x - 1/2)^2 bằng 0. Khi -(3x - 1/2)^2 = 0, thì I = 0 - 3/4 = -3/4. Giá trị này đạt được khi 3x - 1/2 = 0. 3x = 1/2 x = (1/2) / 3 x = 1/6 Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức I là -3/4, đạt được khi x = 1/6. Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 4x^2 + 3x + 2

Quan sát biểu thức K, ta thấy hạng tử 4x^2 có hệ số dương. Đây là dạng tam thức bậc hai có hệ số của x^2 dương, nên nó sẽ có giá trị nhỏ nhất. Chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Đặt thừa số chung là 4 ra ngoài dấu ngoặc (tập trung vào các hạng tử chứa x).
K = 4(x^2 + (3/4)x) + 2

Bước 2: Biến đổi biểu thức trong ngoặc về dạng bình phương.
Ta có x^2. Hạng tử (3/4)x có thể viết là 2 x (3/8).
Để có dạng bình phương (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, ta cần có b^2. Ở đây, b là 3/8, vậy b^2 sẽ là (3/8)^2 = 9/64.

Ta thêm và bớt 9/64 vào trong ngoặc:
K = 4(x^2 + (3/4)x + 9/64 – 9/64) + 2

Bước 3: Gom các hạng tử tạo thành bình phương.
Ta thấy (x^2 + (3/4)x + 9/64) chính là (x + 3/8)^2.
Biểu thức trở thành:
K = 4( (x + 3/8)^2 – 9/64 ) + 2

Bước 4: Phân phối thừa số 4 và rút gọn.
K = 4(x + 3/8)^2 – 4 * (9/64) + 2
K = 4(x + 3/8)^2 – 9/16 + 2

Bây giờ ta rút gọn hằng số:
-9/16 + 2 = -9/16 + 32/16 = 23/16.
Vậy ta có:
K = 4(x + 3/8)^2 + 23/16

Bây giờ, chúng ta xét biểu thức cuối cùng.
Ta biết rằng (x + 3/8)^2 >= 0 với mọi x.
Do đó, 4(x + 3/8)^2 >= 0 với mọi x.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức K sẽ là khi 4(x + 3/8)^2 bằng 0.
Khi 4(x + 3/8)^2 = 0, thì K = 0 + 23/16 = 23/16.

Giá trị này đạt được khi x + 3/8 = 0.
x = -3/8

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là 23/16, đạt được khi x = -3/8.

Các em thấy đó, phương pháp hoàn thành bình phương rất hiệu quả trong việc tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của các biểu thức bậc hai. Các em hãy luyện tập thêm với các bài tập tương tự nhé!