Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “khám phá” giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số lượng giác rất cơ bản nhưng lại vô cùng thú vị: hàm số
\( y = \sin x + \cos x \).

Đây là một dạng bài tập rất thường gặp trong chương trình Toán 11, đặc biệt là khi chúng ta học về các công thức biến đổi lượng giác và miền giá trị của hàm số. Thầy sẽ hướng dẫn các em một cách chi tiết, từng bước một, theo đúng phương pháp mà chúng ta đã được học trên lớp.

---

PHÂN TÍCH VÀ LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP

Hàm số đã cho có dạng đặc trưng:
\[ y = a \sin x + b \cos x \]
Trong trường hợp này, ta có \( a = 1 \) và \( b = 1 \).

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số dạng này, phương pháp hiệu quả nhất và được ưu tiên giảng dạy trong Sách giáo khoa mới là phương pháp biến đổi về một hàm số lượng giác duy nhất (thường là hàm sin hoặc cos) bằng công thức cộng. Phương pháp này giúp chúng ta quy về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm số lượng giác cơ bản có miền giá trị đã biết (từ \(-1\) đến \(1\)).

---

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC

Bước 1: Xác định các hệ số và tính \( R \)

Hàm số của chúng ta là \( y = \sin x + \cos x \). Ta có thể viết lại là:
\[ y = 1 \cdot \sin x + 1 \cdot \cos x \]

Ở đây, hệ số \( a = 1 \) (đi với \( \sin x \)) và hệ số \( b = 1 \) (đi với \( \cos x \)).

Để biến đổi về một hàm số lượng giác duy nhất, chúng ta cần tính giá trị \( R \) theo công thức:
\[ R = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Giải thích: Giá trị \( R \) này chính là “biên độ” của hàm số sau khi biến đổi. Việc nhân và chia cho \( R \) giúp chúng ta tạo ra các tỉ số \( \frac{a}{R} \) và \( \frac{b}{R} \) mà chúng có thể được xem là \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \) của một góc phụ \( \alpha \) nào đó.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\[ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Bước 2: Biến đổi hàm số bằng cách đặt \( R \) làm nhân tử chung

Chúng ta sẽ đặt \( R = \sqrt{2} \) ra ngoài làm nhân tử chung:
\[ y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \]

Giải thích: Bước này giúp chúng ta chuẩn bị cho việc áp dụng công thức cộng. Các hệ số \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) bây giờ có thể được nhận diện là giá trị của \( \sin \) hoặc \( \cos \) của một góc đặc biệt.

Bước 3: Tìm góc phụ \( \alpha \) và áp dụng công thức cộng

Ta nhận thấy rằng:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Mà \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) chính là giá trị của \( \sin \) và \( \cos \) tại góc \( \frac{\pi}{4} \) (hoặc \( 45^\circ \)).
Cụ thể:
\[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Vậy, chúng ta có thể thay thế các tỉ số này vào biểu thức của \( y \):
\[ y = \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin x + \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cos x \right) \]

Giải thích: Mục đích là biến đổi biểu thức trong ngoặc thành dạng \( \sin(A+B) \) hoặc \( \cos(A-B) \). Chúng ta chọn góc \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) vì nó thỏa mãn đồng thời \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức cộng cho hàm \( \sin \):
\[ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

Trong trường hợp này, ta có thể xem \( A = x \) và \( B = \frac{\pi}{4} \) (hoặc ngược lại):
\[ \sin x \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + \cos x \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]

Vậy, hàm số \( y \) trở thành:
\[ y = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]

Bước 4: Xác định miền giá trị của hàm số sau khi biến đổi

Chúng ta đã biết rằng, với bất kỳ góc nào, giá trị của hàm \( \sin \) luôn nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\):
\[ -1 \le \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \le 1 \]

Giải thích: Đây là tính chất cơ bản của hàm số \( \sin \), không phụ thuộc vào biểu thức bên trong dấu \( \sin \).

Để tìm miền giá trị của \( y \), chúng ta sẽ nhân cả ba vế của bất đẳng thức trên với \( \sqrt{2} \) (một số dương, nên không làm đổi chiều bất đẳng thức):
\[ -1 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \le 1 \cdot \sqrt{2} \]
\[ -\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2} \]

Giải thích: Khi \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\), thì \( y \) đạt giá trị nhỏ nhất. Tương tự, khi \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \) đạt giá trị lớn nhất là \(1\), thì \( y \) đạt giá trị lớn nhất.

Bước 5: Kết luận Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất

Từ bất đẳng thức \( -\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2} \), ta có thể kết luận:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \( \sqrt{2} \).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -\sqrt{2} \).

Để các em hiểu sâu hơn, chúng ta có thể xác định khi nào GTLN và GTNN đạt được:

• Hàm số đạt GTLN bằng \( \sqrt{2} \) khi \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 \).
  Điều này xảy ra khi \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
  Suy ra \( x = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \).

• Hàm số đạt GTNN bằng \( -\sqrt{2} \) khi \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 \).
  Điều này xảy ra khi \( x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \) (hoặc \( \frac{3\pi}{2} + k2\pi \)), với \( k \in \mathbb{Z} \).
  Suy ra \( x = -\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi \).

---

CÁCH KHÁC (Áp dụng công thức \( \sin(2x) \))

Đối với bài toán này, các em có thể tham khảo thêm một cách làm khác cũng rất thú vị, sử dụng công thức nhân đôi:

Ta có \( y = \sin x + \cos x \).
Bình phương hai vế (lưu ý, phải xét dấu sau này):
\[ y^2 = (\sin x + \cos x)^2 \]
\[ y^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \]

Áp dụng hằng đẳng thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) và công thức nhân đôi \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \):
\[ y^2 = 1 + \sin(2x) \]

Vì \( -1 \le \sin(2x) \le 1 \), nên:
\[ 1 + (-1) \le 1 + \sin(2x) \le 1 + 1 \]
\[ 0 \le y^2 \le 2 \]

Từ \( y^2 \le 2 \), ta suy ra \( -\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2} \).
(Lưu ý: Vì \( y = \sin x + \cos x \) có thể nhận cả giá trị âm và dương, nên \( y^2 \le 2 \) cho phép \( y \) nằm trong khoảng \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \). Nếu \( y \) luôn dương, ta chỉ lấy \( [0; \sqrt{2}] \)).

Kết quả hoàn toàn trùng khớp với phương pháp biến đổi góc phụ!

---

KẾT LUẬN

Vậy, qua hai cách giải, chúng ta đều đi đến kết luận:

• Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sin x + \cos x \) là \( \sqrt{2} \).
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sin x + \cos x \) là \( -\sqrt{2} \).

Thầy mong rằng với lời giải chi tiết và những giải thích cụ thể này, các em đã nắm vững cách tìm GTLN, GTNN của hàm số dạng \( a \sin x + b \cos x \). Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!