Chào các em, thầy là giáo viên dạy Toán đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN). Đây là một dạng toán rất hay, giúp các em rèn luyện tư duy biến đổi biểu thức đại số, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 7 và cả các lớp sau này.

ĐỊNH HƯỚNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai như thế này, phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất mà các em sẽ được học kỹ hơn ở lớp 8 là “biến đổi về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu”, hay còn gọi là phương pháp “hoàn thành bình phương”.

Lý do chúng ta dùng phương pháp này là vì nó dựa trên một tính chất vô cùng cơ bản:

• Bình phương của một số bất kỳ thì luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
• Cụ thể: Với mọi biểu thức A, ta luôn có \(A^2 \ge 0\).

Từ đó, nếu chúng ta đưa được biểu thức về dạng \(A^2 + k\) (với k là một hằng số), ta có thể suy ra \(A^2 + k \ge k\). Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chính là \(k\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC

Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức đã cho từng bước một nhé.

Đặt \(P = x^2 – 5x – 2\).

Bước 1: Tập trung vào các hạng tử chứa x để tạo ra hằng đẳng thức

Chúng ta sẽ biến đổi nhóm \(x^2 – 5x\) để xuất hiện dạng bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

So sánh \(x^2 – 5x\) với \(a^2 – 2ab\), ta thấy:

• \(a^2\) tương ứng với \(x^2\), vậy ta chọn \(a = x\).
• \(-2ab\) tương ứng với \(-5x\). Thay \(a=x\) vào, ta có \(-2xb = -5x\). Từ đây suy ra \(2b = 5\), hay \(b = \frac{5}{2}\).

Bước 2: Thêm và bớt để hoàn thành bình phương

Để có hằng đẳng thức, chúng ta cần có hạng tử \(b^2\), tức là cần có \((\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}\).

Ta sẽ thêm và bớt cùng một lượng là \(\frac{25}{4}\) vào biểu thức P để giá trị của P không thay đổi.

\(P = x^2 – 5x – 2\)

\(P = (x^2 – 5x + \frac{25}{4}) – \frac{25}{4} – 2\)

Giải thích bước này: Thầy đã nhóm ba hạng tử đầu tiên lại với nhau. Phần còn lại là \(- \frac{25}{4}\) (để trừ đi số vừa thêm vào) và \(-2\) (là hằng số ban đầu của biểu thức).

Bước 3: Viết gọn và tính toán

Bây giờ, nhóm trong ngoặc chính là hằng đẳng thức \((x – \frac{5}{2})^2\). Ta viết lại biểu thức P:

\(P = (x – \frac{5}{2})^2 – \frac{25}{4} – 2\)

Tiếp theo, ta tính toán phần hằng số ở phía sau:

\(- \frac{25}{4} – 2 = – \frac{25}{4} – \frac{8}{4} = – \frac{33}{4}\)

Vậy biểu thức P được viết lại một cách gọn gàng là:

\[P = (x – \frac{5}{2})^2 – \frac{33}{4}\]

Bước 4: Biện luận để tìm giá trị nhỏ nhất

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng tính chất đã nêu ở phần định hướng:

• Ta biết rằng: \( (x – \frac{5}{2})^2 \ge 0 \) với mọi giá trị của x.
• Do đó, khi trừ cả hai vế cho \(\frac{33}{4}\), ta có: \( (x – \frac{5}{2})^2 – \frac{33}{4} \ge 0 – \frac{33}{4} \)
• Hay \( P \ge – \frac{33}{4} \).

Điều này có nghĩa là biểu thức P luôn luôn lớn hơn hoặc bằng \(-\frac{33}{4}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là \(-\frac{33}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi nào? Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi biểu thức bình phương bằng 0.

Tức là: \( (x – \frac{5}{2})^2 = 0 \)

\(\implies x – \frac{5}{2} = 0\)

\(\implies x = \frac{5}{2}\)

KẾT LUẬN CUỐI CÙNG

• Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 – 5x – 2\) là \(-\frac{33}{4}\).
• Giá trị này đạt được khi \(x = \frac{5}{2}\).

Đây là một dạng toán rất quan trọng và sẽ theo các em lên các lớp trên. Các em hãy xem lại từng bước, tự mình làm lại để hiểu thật sâu nhé. Chúc các em học tốt