Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm giới hạn của dãy số. Các em đã sẵn sàng chưa nào?

Chúng ta sẽ đi vào bài tập tìm giới hạn của dãy số \(u_n = \frac{2n+1}{1+n}\) khi \(n\) tiến ra vô cùng.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức về giới hạn của dãy số mà chúng ta đã học.

Bước 1: Xác định dạng của giới hạn.
Khi \(n\) tiến ra vô cùng, cả tử số \(2n+1\) và mẫu số \(1+n\) đều tiến ra vô cùng. Đây là dạng vô định \(\frac{\infty}{\infty}\).

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\).
Trong trường hợp này, lũy thừa cao nhất của \(n\) ở cả tử và mẫu đều là \(n^1\) hay \(n\). Vì vậy, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(n\).

Ta có:
\(u_n = \frac{2n+1}{1+n}\)

Chia cả tử và mẫu cho \(n\):
\(u_n = \frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{1+n}{n}}\)

Bước 3: Tách biểu thức thành các phân thức nhỏ hơn.
\(u_n = \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{n}{n}}\)

Bước 4: Rút gọn các phân thức.
\(u_n = \frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1}\)

Bước 5: Áp dụng các giới hạn cơ bản đã biết.
Chúng ta đã biết rằng:
– \(\lim_{n \to \infty} c = c\) (với \(c\) là hằng số)
– \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0\) với \(k\) là số nguyên dương. Cụ thể ở đây là \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta:
\(\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1}\)

Sử dụng tính chất của giới hạn (giới hạn của thương bằng thương các giới hạn, giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn):
\(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{\lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + 1)}\)

\(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{\lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} 1}\)

Thay các giá trị giới hạn đã biết vào:
\(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2 + 0}{0 + 1}\)

\(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2}{1}\)

\(\lim_{n \to \infty} u_n = 2\)

Vậy, giới hạn của dãy số \(u_n = \frac{2n+1}{1+n}\) khi \(n\) tiến ra vô cùng là 2.

Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta nắm vững các bước thực hiện và các quy tắc về giới hạn. Hãy ôn tập kỹ các kiến thức đã học để có thể giải quyết tốt các bài tập tương tự nhé!