Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán quen thuộc nhưng cũng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đó là bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Vi-ét. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và thi cuối kì, nên các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi theo các bước sau đây:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.

Trước hết, chúng ta cần xác định khi nào phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm \(x_1, x_2\). Một phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) (với \(a \neq 0\)) có hai nghiệm khi biệt thức \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta’ \ge 0\)).

Phương trình đã cho là: \(x^2 + 2x + m = 0\).

Ở đây, các hệ số là:

• \(a = 1\)
• \(b = 2\)
• \(c = m\)

Vì hệ số \(b\) là số chẵn, chúng ta có thể dùng biệt thức thu gọn \(\Delta’\) để tính toán dễ hơn.

Công thức \(\Delta’ = b’^2 – ac\), với \(b’ = \frac{b}{2}\).

Tính \(b’\): \(b’ = \frac{2}{2} = 1\).

Vậy, \(\Delta’ = 1^2 – 1 \cdot m = 1 – m\).

Để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\), điều kiện là \(\Delta’ \ge 0\).

\[1 – m \ge 0\]

\[m \le 1\]

Đây là điều kiện đầu tiên và bắt buộc đối với \(m\). Chúng ta sẽ cần kiểm tra lại điều kiện này ở cuối bài toán.

Bước 2: Áp dụng Định lý Vi-ét.

Khi phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\), Định lý Vi-ét cho chúng ta mối quan hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình.

Lý do áp dụng: Định lý Vi-ét giúp chúng ta không cần giải phương trình để tìm \(x_1, x_2\) cụ thể, mà vẫn có thể liên hệ được các nghiệm với tham số \(m\). Điều này rất hữu ích khi có thêm một điều kiện liên quan đến \(x_1, x_2\).

Theo Định lý Vi-ét, ta có:

Tổng hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

Tích hai nghiệm: \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)

Thay các hệ số vào, ta được:

\[x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2 \quad (1)\]

\[x_1 x_2 = \frac{m}{1} = m \quad (2)\]

Bước 3: Sử dụng điều kiện đã cho để tìm giá trị của \(x_1\) và \(x_2\).

Đề bài cho thêm một điều kiện là: \(3x_1 + 2x_2 = 1 \quad (3)\).

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn \(x_1\) và \(x_2\):

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \quad (1) \\ 3x_1 + 2x_2 = 1 \quad (3) \end{cases}\]

Lý do áp dụng: Với hai phương trình và hai ẩn, chúng ta hoàn toàn có thể tìm ra giá trị cụ thể của \(x_1\) và \(x_2\) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Chúng ta sẽ giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (khử biến).

Nhân phương trình (1) với 2, ta được:

\[2x_1 + 2x_2 = -4 \quad (4)\]

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4):

\[(3x_1 + 2x_2) – (2x_1 + 2x_2) = 1 – (-4)\]

\[3x_1 – 2x_1 + 2x_2 – 2x_2 = 1 + 4\]

\[x_1 = 5\]

Sau khi tìm được \(x_1\), chúng ta thay \(x_1 = 5\) vào phương trình (1) để tìm \(x_2\):

\[5 + x_2 = -2\]

\[x_2 = -2 – 5\]

\[x_2 = -7\]

Vậy, hai nghiệm của phương trình là \(x_1 = 5\) và \(x_2 = -7\).

Bước 4: Sử dụng Định lý Vi-ét (tích các nghiệm) để tìm giá trị của \(m\).

Chúng ta đã có \(x_1 = 5\) và \(x_2 = -7\). Đồng thời, từ Định lý Vi-ét, chúng ta có mối quan hệ \(x_1 x_2 = m\).

Lý do áp dụng: Sau khi tìm được giá trị cụ thể của \(x_1\) và \(x_2\), chúng ta chỉ cần thay chúng vào hệ thức tích các nghiệm để dễ dàng tìm ra \(m\).

Thay các giá trị \(x_1, x_2\) vào phương trình (2):

\[5 \cdot (-7) = m\]

\[-35 = m\]

Vậy, \(m = -35\).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của \(m\).

Ở Bước 1, chúng ta đã tìm ra điều kiện để phương trình có hai nghiệm là \(m \le 1\).

Giá trị \(m\) mà chúng ta vừa tìm được là \(m = -35\).

Chúng ta thấy rằng \(-35 \le 1\), điều này thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Lý do áp dụng: Bước kiểm tra này vô cùng quan trọng. Nếu giá trị \(m\) tìm được không thỏa mãn điều kiện \(\Delta’ \ge 0\), thì giá trị đó sẽ bị loại bỏ, và có thể kết luận là không có giá trị \(m\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận:

Vậy, với \(m = -35\), phương trình \(x^2 + 2x + m = 0\) sẽ có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn điều kiện \(3x_1 + 2x_2 = 1\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải quyết dạng toán này nhé! Chúc các em học tốt!