Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập tìm nghiệm của đa thức, một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép lại từng bước nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm nghiệm của đa thức: -x^2 + 3x + 4

Để tìm nghiệm của một đa thức, chúng ta cần làm gì?
Đúng rồi, chúng ta cần cho đa thức đó bằng 0 và tìm các giá trị của biến làm cho đa thức bằng 0.

Vậy, ở bài toán này, chúng ta sẽ cho đa thức -x^2 + 3x + 4 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai. Các em đã học về cách giải phương trình bậc hai chưa nhỉ?
Trong chương trình lớp 7, chúng ta thường gặp các phương trình mà có thể phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hiệu hai bình phương.

Bây giờ, chúng ta hãy thử xem đa thức -x^2 + 3x + 4 có thể phân tích thành nhân tử được không nhé.

Một cách thường dùng là thử dự đoán nghiệm nguyên (nếu có). Nghiệm nguyên (nếu có) phải là ước của hệ số tự do. Ở đây, hệ số tự do là 4. Các ước của 4 là: 1, -1, 2, -2, 4, -4.

Chúng ta thử thay lần lượt các giá trị này vào đa thức:

* Với x = 1: – (1)^2 + 3(1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6. (Không bằng 0)
* Với x = -1: – (-1)^2 + 3(-1) + 4 = -1 – 3 + 4 = 0. (Bằng 0! Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức).
* Với x = 2: – (2)^2 + 3(2) + 4 = -4 + 6 + 4 = 6. (Không bằng 0)
* Với x = -2: – (-2)^2 + 3(-2) + 4 = -4 – 6 + 4 = -6. (Không bằng 0)
* Với x = 4: – (4)^2 + 3(4) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0. (Bằng 0! Vậy x = 4 là một nghiệm của đa thức).
* Với x = -4: – (-4)^2 + 3(-4) + 4 = -16 – 12 + 4 = -24. (Không bằng 0)

Vậy, chúng ta đã tìm được hai nghiệm của đa thức là x = -1 và x = 4.

Bây giờ, cô sẽ hướng dẫn các em cách phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình một cách hệ thống hơn.

Chúng ta có đa thức: -x^2 + 3x + 4

Trước hết, để dễ dàng phân tích, chúng ta có thể nhân cả đa thức với -1 để hệ số của x^2 là dương:
– (-x^2 + 3x + 4) = x^2 – 3x – 4

Bây giờ, chúng ta cần phân tích đa thức x^2 – 3x – 4 thành nhân tử.
Chúng ta tìm hai số sao cho tích của chúng bằng -4 (hệ số tự do) và tổng của chúng bằng -3 (hệ số của x).
Hai số đó là -4 và 1. Vì (-4) * 1 = -4 và (-4) + 1 = -3.

Ta viết lại hạng tử -3x thành -4x + x:
x^2 – 3x – 4 = x^2 – 4x + x – 4

Bây giờ, ta nhóm các hạng tử lại và đặt nhân tử chung:
= (x^2 – 4x) + (x – 4)
= x(x – 4) + 1(x – 4)

Ta thấy có nhân tử chung là (x – 4):
= (x – 4)(x + 1)

Vậy, đa thức -x^2 + 3x + 4 ban đầu sẽ bằng – (x^2 – 3x – 4), tức là:
-x^2 + 3x + 4 = – (x – 4)(x + 1)
Hoặc, ta có thể viết là:
-x^2 + 3x + 4 = (x – 4) * -(x + 1) = (x – 4)(-x – 1)
Hoặc:
-x^2 + 3x + 4 = -(x – 4)(x + 1) = (-x + 4)(x + 1) = (4 – x)(x + 1)

Bây giờ, chúng ta cho đa thức bằng 0 để tìm nghiệm:
-x^2 + 3x + 4 = 0

Hoặc tương đương với:
(4 – x)(x + 1) = 0

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.
Trường hợp 1: 4 – x = 0
Suy ra x = 4

Trường hợp 2: x + 1 = 0
Suy ra x = -1

Vậy, nghiệm của đa thức -x^2 + 3x + 4 là x = 4 và x = -1.

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách thay các giá trị nghiệm vào đa thức ban đầu, chúng ta đã làm ở phần đầu và thấy kết quả đúng.

Các em thấy đấy, việc tìm nghiệm của đa thức có thể được thực hiện bằng cách thử nghiệm hoặc phân tích đa thức thành nhân tử. Đối với các đa thức bậc hai, phân tích thành nhân tử là một phương pháp hiệu quả.

Tóm lại các bước giải:

1. Cho đa thức bằng 0: Đặt -x^2 + 3x + 4 = 0.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử:

Nhân đa thức với -1 để hệ số của x^2 là dương: -(x^2 – 3x – 4).

Phân tích x^2 – 3x – 4 thành nhân tử bằng cách tìm hai số có tích là -4 và tổng là -3. Hai số đó là -4 và 1.

Ta có: x^2 – 3x – 4 = x^2 – 4x + x – 4 = x(x – 4) + 1(x – 4) = (x – 4)(x + 1).

Vậy đa thức ban đầu là: -x^2 + 3x + 4 = -(x – 4)(x + 1) = (4 – x)(x + 1).

3. Giải phương trình tích:

Đặt (4 – x)(x + 1) = 0.

Suy ra:

Hoặc 4 – x = 0 => x = 4.

Hoặc x + 1 = 0 => x = -1.

4. Kết luận nghiệm: Nghiệm của đa thức là x = 4 và x = -1.

Các em về nhà ôn tập kỹ dạng toán này nhé. Nếu có bài tập nào khó, cứ hỏi cô. Chúc các em học tốt!