Chào các em học sinh thân yêu của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11, đó là tìm nghiệm của phương trình lượng giác. Bài toán của chúng ta hôm nay là: Tìm nghiệm của phương trình sin2x = cosx.

Thầy/cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một để giải quyết bài toán này nhé.

Bước 1: Biến đổi phương trình về cùng một loại hàm lượng giác

Chúng ta có phương trình: sin2x = cosx.
Nhận thấy vế trái là hàm sin của góc kép 2x, còn vế phải là hàm cos của góc x. Để giải phương trình này, chúng ta cần đưa về cùng một loại hàm.
Chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho sin: sin2x = 2sin x cos x.
Áp dụng công thức này vào phương trình, ta được:

2sin x cos x = cos x

Lý do chúng ta dùng công thức nhân đôi là để biểu diễn sin2x theo sinx và cosx, từ đó có thể đưa về một phương trình mà các hạng tử đều chứa cosx hoặc sinx.

Bước 2: Chuyển vế và đặt nhân tử chung

Sau khi áp dụng công thức, phương trình trở thành: 2sin x cos x = cos x.
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế và đặt nhân tử chung.
Chuyển cos x sang vế trái:

2sin x cos x – cos x = 0

Bây giờ, chúng ta thấy cos x là nhân tử chung. Đặt cos x ra ngoài dấu ngoặc:

cos x (2sin x – 1) = 0

Việc đặt nhân tử chung giúp chúng ta phân tích phương trình về dạng tích của các thừa số, từ đó dễ dàng tìm nghiệm.

Bước 3: Giải từng phương trình cơ bản

Khi tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0. Do đó, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: cos x = 0
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Nghiệm của phương trình cos x = 0 là:

x = \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), với k là số nguyên tùy ý (k \(\in \mathbb{Z}\))

Lý do công thức này là do trên đường tròn lượng giác, cos x = 0 tương ứng với các điểm trên trục tung, là \(\frac{\pi}{2}\) và \(\frac{3\pi}{2}\), và các điểm này lặp lại sau mỗi chu kỳ \(\pi\).

Trường hợp 2: 2sin x – 1 = 0
Chúng ta giải phương trình này để tìm sin x:

2sin x = 1

sin x = \(\frac{1}{2}\)

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta biết rằng sin của góc \(\frac{\pi}{6}\) bằng \(\frac{1}{2}\). Do đó, có hai trường hợp cho sin x = \(\frac{1}{2}\):

– x = \(\frac{\pi}{6} + m2\pi\), với m là số nguyên tùy ý (m \(\in \mathbb{Z}\))
– x = \(\pi – \frac{\pi}{6} + n2\pi = \frac{5\pi}{6} + n2\pi\), với n là số nguyên tùy ý (n \(\in \mathbb{Z}\))

Lý do có hai tập nghiệm cho phương trình sin x = \(\frac{1}{2}\) là vì trên đường tròn lượng giác, có hai góc trong một chu kỳ \(2\pi\) có cùng giá trị sin là \(\frac{1}{2}\).

Bước 4: Kết luận tập nghiệm của phương trình

Từ hai trường hợp trên, chúng ta kết hợp các nghiệm lại để có tập nghiệm chung của phương trình ban đầu.
Vậy, nghiệm của phương trình sin2x = cosx là:

• x = \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
• x = \(\frac{\pi}{6} + m2\pi\), \(m \in \mathbb{Z}\)
• x = \(\frac{5\pi}{6} + n2\pi\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Đây là toàn bộ các nghiệm của phương trình đã cho. Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé! Chúc các em học tốt!