Xin chào các em! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài học ngày hôm nay về phương trình nghiệm nguyên. Đây là một dạng bài toán thú vị, giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic và khả năng biến đổi đại số. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào từng bài tập nhé.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại khái niệm về phương trình nghiệm nguyên. Phương trình nghiệm nguyên là phương trình mà chúng ta tìm các giá trị nguyên (số nguyên dương, số nguyên âm, hoặc số 0) cho các ẩn số.

Trong chương trình Toán lớp 9, chúng ta thường gặp dạng phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: ax + by = c, trong đó a, b, c là các hệ số nguyên và x, y là các ẩn nguyên.

Để giải phương trình nghiệm nguyên dạng này, chúng ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid mở rộng. Tuy nhiên, với các bài toán trong phạm vi chương trình lớp 9, chúng ta có thể tiếp cận bằng phương pháp thử chọn hoặc biến đổi tương đương để tìm ra một nghiệm riêng, sau đó suy ra nghiệm tổng quát. Cô sẽ hướng dẫn các em cách làm chi tiết cho từng câu.

Chúng ta bắt đầu với câu a) nhé:

a) 5x + 3y = 2

Đây là một phương trình bậc nhất hai ẩn nguyên.

Bước 1: Tìm một cặp nghiệm nguyên \((x_0, y_0)\) bất kỳ của phương trình.
Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên cho x hoặc y để tìm ra một nghiệm.
Nếu \(x=1\), ta có \(5(1) + 3y = 2 \Rightarrow 5 + 3y = 2 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow y = -1\).
Vậy, ta tìm được một cặp nghiệm nguyên là \((x_0, y_0) = (1, -1)\).

Bước 2: Kiểm tra lại cặp nghiệm vừa tìm được.
Thay \(x=1\) và \(y=-1\) vào phương trình ban đầu: \(5(1) + 3(-1) = 5 – 3 = 2\). Phương trình đúng.

Bước 3: Suy ra nghiệm tổng quát.
Nếu \((x_0, y_0)\) là một nghiệm riêng của phương trình ax + by = c, thì nghiệm tổng quát của phương trình là:
\(x = x_0 + \frac{b}{d}t\)
\(y = y_0 – \frac{a}{d}t\)
trong đó d = ƯCLN(a, b) và t là một số nguyên tùy ý.

Trong phương trình 5x + 3y = 2, ta có a = 5, b = 3, c = 2.
Ta tính ƯCLN(5, 3).
5 = 3 * 1 + 2
3 = 2 * 1 + 1
2 = 1 * 2 + 0
Vậy, d = ƯCLN(5, 3) = 1.

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát với \((x_0, y_0) = (1, -1)\), a = 5, b = 3, d = 1:
\(x = 1 + \frac{3}{1}t = 1 + 3t\)
\(y = -1 – \frac{5}{1}t = -1 – 5t\)
với \(t \in \mathbb{Z}\) (t là một số nguyên).

Vậy, tập nghiệm nguyên của phương trình 5x + 3y = 2 là: \((x, y) = (1 + 3t, -1 – 5t)\), với \(t \in \mathbb{Z}\).

Bây giờ, chúng ta chuyển sang câu e) nhé:

e) 38x + 117y = 15

Đây cũng là một phương trình bậc nhất hai ẩn nguyên.

Bước 1: Tìm một cặp nghiệm nguyên \((x_0, y_0)\) bất kỳ của phương trình.
Với các hệ số lớn như thế này, việc thử chọn trực tiếp có thể tốn thời gian. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi để đưa về dạng dễ nhìn hơn, hoặc có thể áp dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghiệm riêng. Ở đây, cô sẽ ưu tiên phương pháp biến đổi tương đương để các em dễ hình dung.

Ta có phương trình: \(38x + 117y = 15\).
Ta nhận thấy \(117 = 3 \times 38 + 3\).
Ta có thể biểu diễn 3 theo \(117\) và \(38\): \(3 = 117 – 3 \times 38\).

Bây giờ, ta sẽ biến đổi phương trình ban đầu như sau:
\(38x + 117y = 15\)
\(38x + (3 \times 38 + 3)y = 15\)
\(38x + 3 \times 38y + 3y = 15\)
\(38(x + 3y) + 3y = 15\)

Đặt \(X = x + 3y\). Khi đó, phương trình trở thành:
\(38X + 3y = 15\)

Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm nguyên cho phương trình \(38X + 3y = 15\).
Ta có thể tách \(38X\) thành \(36X + 2X\):
\(36X + 2X + 3y = 15\)
\(3(12X + y) + 2X = 15\)

Để biểu thức trong ngoặc là số nguyên, ta cần \(12X + y\) là số nguyên.
Ta cũng có thể thấy: \(38 \equiv 2 \pmod{3}\) và \(15 \equiv 0 \pmod{3}\).
Do đó, phương trình \(38X + 3y = 15\) tương đương với \(38X \equiv 15 \pmod{3}\).
\(2X \equiv 0 \pmod{3}\).
Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, nên \(X \equiv 0 \pmod{3}\).
Vậy, \(X\) phải là một bội của 3. Đặt \(X = 3k\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Thay \(X = 3k\) vào phương trình \(38X + 3y = 15\):
\(38(3k) + 3y = 15\)
\(114k + 3y = 15\)
Chia cả hai vế cho 3:
\(38k + y = 5\)
\(y = 5 – 38k\)

Bây giờ chúng ta đã tìm được biểu thức của y theo k. Ta cần tìm lại x.
Ta có \(X = x + 3y\). Thay \(X = 3k\) và \(y = 5 – 38k\):
\(3k = x + 3(5 – 38k)\)
\(3k = x + 15 – 114k\)
\(x = 3k – 15 + 114k\)
\(x = 117k – 15\)

Vậy, tập nghiệm nguyên của phương trình 38x + 117y = 15 là:
\(x = 117k – 15\)
\(y = 5 – 38k\)
với \(k \in \mathbb{Z}\).

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể thay các biểu thức của x và y vào phương trình ban đầu:
\(38(117k – 15) + 117(5 – 38k)\)
\(= 38 \times 117k – 38 \times 15 + 117 \times 5 – 117 \times 38k\)
\(= (38 \times 117k – 117 \times 38k) – 38 \times 15 + 117 \times 5\)
\(= 0 – 570 + 585\)
\(= 15\).
Phương trình đúng.

Cuối cùng, chúng ta đến với câu c) nhé:

c) 21x – 18y = 4

Đây là một phương trình bậc nhất hai ẩn nguyên.
Trước khi tìm nghiệm, chúng ta cần kiểm tra xem phương trình này có nghiệm nguyên hay không.
Một phương trình dạng ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi c chia hết cho ƯCLN(a, b).

Bước 1: Tính ƯCLN(a, b).
Ở đây, a = 21 và b = -18.
Ta cần tìm ƯCLN(21, -18). Vì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(|a|, |b|), nên ta tìm ƯCLN(21, 18).
21 = 18 * 1 + 3
18 = 3 * 6 + 0
Vậy, d = ƯCLN(21, 18) = 3.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện có nghiệm nguyên.
Ta có c = 4.
Ta cần kiểm tra xem 4 có chia hết cho 3 hay không.
\(4 \div 3\) không cho kết quả là một số nguyên. Nghĩa là 4 không chia hết cho 3.

Bước 3: Kết luận.
Vì c (là 4) không chia hết cho d (là 3), nên phương trình 21x – 18y = 4 không có nghiệm nguyên.

Tại sao lại như vậy?
Nếu phương trình 21x – 18y = 4 có nghiệm nguyên (x, y), thì:
21x – 18y = 4
Ta có thể đặt nhân tử chung là 3 ở vế trái:
\(3(7x – 6y) = 4\)
Vì x và y là các số nguyên, nên \(7x – 6y\) cũng là một số nguyên.
Điều này có nghĩa là 4 phải chia hết cho 3. Nhưng điều này là sai.
Do đó, không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình đã cho.

Các em thấy không, việc kiểm tra điều kiện có nghiệm nguyên trước khi đi vào tìm nghiệm là rất quan trọng, nó giúp chúng ta tiết kiệm thời gian và tránh những tính toán vô ích.

Cô hy vọng với những giải thích chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!