Tìm nghiệm nguyên dương của pt
2x+3y=5
2x+3y=5
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 3y = 5.
Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ “nghiệm nguyên dương” là gì.
Nghĩa là chúng ta cần tìm các cặp số (x, y) sao cho cả x và y đều là các số nguyên và lớn hơn 0.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào các bước giải chi tiết:
Bước 1: Phân tích phương trình và nhận xét về mối quan hệ giữa các biến.
Phương trình của chúng ta là 2x + 3y = 5.
Vì x và y là các số nguyên dương, nên chúng ta có:
x ≥ 1
y ≥ 1
Từ điều kiện này, chúng ta có thể suy ra:
2x ≥ 2
3y ≥ 3
Bước 2: Sử dụng điều kiện của biến để giới hạn phạm vi tìm nghiệm.
Xét phương trình 2x + 3y = 5.
Vì 2x và 3y đều là các số dương (do x, y nguyên dương), tổng của chúng là 5. Điều này có nghĩa là cả 2x và 3y đều phải nhỏ hơn 5.
Từ đó, ta có:
2x < 5 => x < 2.5
3y < 5 => y < 5/3 ≈ 1.67
Bước 3: Kết hợp với điều kiện nguyên dương để tìm các giá trị có thể của biến.
Chúng ta đã có:
x là số nguyên dương, và x < 2.5. Vậy các giá trị nguyên dương có thể của x là: x = 1, x = 2.
Chúng ta cũng có:
y là số nguyên dương, và y < 1.67. Vậy giá trị nguyên dương có thể của y là: y = 1.
Bước 4: Thay các giá trị có thể vào phương trình để kiểm tra và tìm nghiệm tương ứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thử các giá trị có thể của x và y vào phương trình để xem cặp số nào thỏa mãn.
Trường hợp 1: Xét giá trị của y.
Vì y chỉ có một giá trị nguyên dương duy nhất là y = 1, chúng ta sẽ thay y = 1 vào phương trình ban đầu.
2x + 3(1) = 5
2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 1
Kiểm tra xem cặp (x, y) = (1, 1) có phải là nghiệm nguyên dương không.
x = 1 là số nguyên dương.
y = 1 là số nguyên dương.
Vậy, cặp (1, 1) là một nghiệm nguyên dương của phương trình.
Trường hợp 2: Xét các giá trị có thể của x.
Chúng ta đã xác định x có thể là 1 hoặc 2.
* Nếu x = 1:
Chúng ta đã tìm được ở Trường hợp 1 là y = 1. Cặp (1, 1) thỏa mãn điều kiện nguyên dương.
* Nếu x = 2:
Thay x = 2 vào phương trình:
2(2) + 3y = 5
4 + 3y = 5
3y = 5 – 4
3y = 1
y = 1/3
Kiểm tra xem cặp (x, y) = (2, 1/3) có phải là nghiệm nguyên dương không.
x = 2 là số nguyên dương.
y = 1/3 không phải là số nguyên.
Vậy, cặp (2, 1/3) không phải là nghiệm nguyên dương.
Bước 5: Kết luận.
Qua quá trình phân tích và kiểm tra, chúng ta chỉ tìm được duy nhất một cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn phương trình 2x + 3y = 5.
Nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình là (x, y) = (1, 1).
Tóm lại các bước để giải bài toán này:
1. Hiểu rõ yêu cầu bài toán (tìm nghiệm nguyên dương).
2. Sử dụng điều kiện của biến nguyên dương để giới hạn phạm vi tìm kiếm giá trị của từng biến.
3. Thử lần lượt các giá trị có thể của một biến (thường là biến có ít giá trị có thể hơn) vào phương trình.
4. Kiểm tra xem giá trị tìm được của biến còn lại có thỏa mãn điều kiện nguyên dương hay không.
5. Ghi nhận các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn.
Các em thấy không, chỉ cần chúng ta suy luận logic và bám sát vào điều kiện của đề bài, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Chúc các em học tốt!
\(2x + 3y = 5\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{5-3y}{2}\)
\(\Leftrightarrow x = 2 – y + \frac{1-y}{2}\)
Đặt \(\frac{1-y}{2} = t\) (\(t \in \mathbb{Z}\))
\(<=> 1 – y = 2t\)
\(<=> y = -2t+1\)
\(\to x= 2 – ( – 2t + 1 ) + t\)
\(\to x = 2 + 2t – 1 + t\)
\(\to x = 3t + 1\)
Mà \(\left\{\begin{array}{l} x>0\\ y>0 \end{array}\right.\)
\(\to \left\{\begin{array}{l} 3t+1>0\\ -2t+1>0 \end{array}\right.\)
\(\to \left\{\begin{array}{l} t>-\dfrac{1}{3} \\ y<\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)
\(\to -\frac{1}{3} < t < \frac{1}{2}\)
Mà \( t \in \mathbb{Z}\)
\(\to t = 0\)
\(\to \left\{\begin{array}{l} x=3.0+1\\ y=-2.0+1\end{array}\right.\)
\(\to \left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=1\end{array}\right.\)
Vậy \((x;y) = { (1;1)}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(y=\frac{5-2x}{3}=1+\frac{2-2x}{3}\)
Vì y nguyên nên \(\frac{2-2x}{3}\) nguyên
Suy ra x là số có dạng \(3t+4\) với t nguyên để \(\frac{2-2x}{3}\) nguyên
Vậy thay x vào ta tìm được nghiệm nguyên:
\(\left\{\begin{array}{l}x=3t+4\\y=-2x-1\end{array}\right.\)
Vif duonwg nên ta cần có thêm ddieuf kiện \(-\frac{4}{3}<t<-\frac{1}{2}\)
t nguyên suy ra t=-1 vậy hai giá trị x, y thích hợp lần lượt là 1, 1