Chào các em, thầy là giáo viên Toán lớp 12. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài toán tìm nguyên hàm này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, theo đúng tinh thần của chương trình giáo dục phổ thông mới nhé.

Chúng ta cần tìm nguyên hàm \( I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} dx \).

Phân tích và lựa chọn phương pháp:
Khi quan sát biểu thức dưới dấu tích phân, chúng ta thấy nó có dạng \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \) với \( a^2 = 3 \), suy ra \( a = \sqrt{3} \).
Đối với dạng toán này, phương pháp hiệu quả và phổ biến nhất mà chúng ta được học là phương pháp đổi biến số dạng lượng giác. Cụ thể, ta sẽ đặt \( x \) theo một hàm lượng giác để khử dấu căn bậc hai, dựa trên công thức \( 1 + \tan^2(t) = \sec^2(t) = \frac{1}{\cos^2(t)} \).

Bắt đầu giải chi tiết:

• Bước 1: Đặt biến số mới
  Ta đặt \( x = \sqrt{3} \tan(t) \).
  Để phép đặt là một song ánh, ta chọn điều kiện cho biến \( t \) là \( t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \). Với điều kiện này, ta có \( \cos(t) > 0 \).
  Lấy vi phân hai vế, ta được: \( dx = \sqrt{3} (\tan(t))’ dt = \sqrt{3} \frac{1}{\cos^2(t)} dt \).
• Bước 2: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn theo biến \( t \)
  Ta thay \( x = \sqrt{3} \tan(t) \) vào biểu thức \( \sqrt{x^2+3} \):
  \( \sqrt{x^2+3} = \sqrt{(\sqrt{3} \tan(t))^2 + 3} = \sqrt{3 \tan^2(t) + 3} \)
  \( = \sqrt{3(\tan^2(t) + 1)} \)
  Sử dụng công thức lượng giác \( 1 + \tan^2(t) = \frac{1}{\cos^2(t)} \), ta có:
  \( = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{\cos^2(t)}} = \frac{\sqrt{3}}{|\cos(t)|} \)
  Vì ta đã chọn \( t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \) nên \( \cos(t) > 0 \), do đó \( |\cos(t)| = \cos(t) \).
  Vậy, \( \sqrt{x^2+3} = \frac{\sqrt{3}}{\cos(t)} \).
• Bước 3: Thay vào tích phân ban đầu
  Bây giờ, chúng ta thay tất cả các biểu thức \( dx \) và \( \sqrt{x^2+3} \) theo biến \( t \) vào nguyên hàm \( I \):
  \( I = \int \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\cos(t)}} \cdot (\sqrt{3} \frac{1}{\cos^2(t)} dt) \)
  \( I = \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2(t)} dt \)
  Rút gọn biểu thức, ta được:
  \( I = \int \frac{1}{\cos(t)} dt \)
• Bước 4: Tính nguyên hàm theo biến \( t \)
  Nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos(t)} \) (hay \( \sec(t) \)) là một nguyên hàm cơ bản mở rộng. Ta có công thức:
  \( \int \frac{1}{\cos(t)} dt = \ln|\tan(t) + \frac{1}{\cos(t)}| + C \) (trong đó C là hằng số).
• Bước 5: Trả lại biến ban đầu \( x \)
  Từ phép đặt ở Bước 1, ta có: \( x = \sqrt{3} \tan(t) \implies \tan(t) = \frac{x}{\sqrt{3}} \).
  Từ kết quả ở Bước 2, ta có: \( \sqrt{x^2+3} = \frac{\sqrt{3}}{\cos(t)} \implies \frac{1}{\cos(t)} = \frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}} \).
  Bây giờ, ta thay các biểu thức của \( \tan(t) \) và \( \frac{1}{\cos(t)} \) theo \( x \) vào kết quả ở Bước 4:
  \( I = \ln|\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}| + C \)
  \( I = \ln|\frac{x + \sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}| + C \)
• Bước 6: Rút gọn kết quả cuối cùng
  Sử dụng tính chất của logarit \( \ln(\frac{A}{B}) = \ln(A) – \ln(B) \), ta có:
  \( I = \ln|x + \sqrt{x^2+3}| – \ln(\sqrt{3}) + C \)
  Vì \( C \) là một hằng số bất kỳ và \( -\ln(\sqrt{3}) \) cũng là một hằng số, ta có thể gộp chúng lại thành một hằng số mới, ký hiệu là \( C’ = C – \ln(\sqrt{3}) \). Để đơn giản, ta vẫn có thể viết là \( C \).
  Vậy, kết quả cuối cùng của nguyên hàm là:
  \[ I = \ln|x + \sqrt{x^2+3}| + C \]

Tổng kết:
Vậy, nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} \) là \( \ln|x + \sqrt{x^2+3}| + C \).
Thực tế, đây là một dạng tổng quát mà các em có thể ghi nhớ như một công thức tính nhanh:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C \]
Việc chứng minh chi tiết như trên giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề và rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác. Chúc các em học tốt