Tìm số đo góc giữa 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình
a, d1: 5x-y+…
a, d1: 5x-y+7=0 và d2: 3x+2y-5=0
b, d1: 12x-10y+15=0 và d2: (x=10-6t
(Y=1+5t
Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào từng phần của bài tập.
Phần a: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng d1: 5x – y + 7 = 0 và d2: 3x + 2y – 5 = 0.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng vectơ pháp tuyến của chúng.
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1.
Đường thẳng d1 có phương trình dạng Ax + By + C = 0, với A = 5, B = -1, C = 7.
Vậy, vectơ pháp tuyến của d1 là \( \vec{n_1} = (5; -1) \).
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2.
Đường thẳng d2 có phương trình dạng Ax + By + C = 0, với A = 3, B = 2, C = -5.
Vậy, vectơ pháp tuyến của d2 là \( \vec{n_2} = (3; 2) \).
Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ \( \vec{u} = (a; b) \) và \( \vec{v} = (c; d) \) là:
\[ \cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
Trong đó, \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ac + bd \) là tích vô hướng của hai vectơ, và \( |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2} \), \( |\vec{v}| = \sqrt{c^2 + d^2} \) là độ dài của hai vectơ.
Áp dụng vào bài toán của chúng ta:
Tích vô hướng của \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \) là:
\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(3) + (-1)(2) = 15 – 2 = 13 \).
Độ dài của \( \vec{n_1} \) là:
\( |\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \).
Độ dài của \( \vec{n_2} \) là:
\( |\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).
Vậy, cosin của góc giữa \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \) là:
\[ \cos(\alpha) = \frac{|13|}{\sqrt{26} \sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{26 \times 13}} = \frac{13}{\sqrt{2 \times 13 \times 13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Bước 4: Tìm góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \) hoặc bù với góc đó. Tuy nhiên, chúng ta thường lấy góc nhọn giữa hai đường thẳng.
Vì \( \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), chúng ta suy ra \( \alpha = 45^\circ \).
Vậy, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 45 độ.
Phần b: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng d1: 12x – 10y + 15 = 0 và d2: \( \begin{cases} x = 10 – 6t \\ y = 1 + 5t \end{cases} \).
Đối với phần này, đường thẳng d1 có phương trình tổng quát, còn đường thẳng d2 có phương trình tham số. Chúng ta có thể đưa cả hai về cùng một dạng để dễ dàng làm việc.
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1.
Đường thẳng d1 có phương trình dạng Ax + By + C = 0, với A = 12, B = -10, C = 15.
Vậy, vectơ pháp tuyến của d1 là \( \vec{n_1} = (12; -10) \).
Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d2.
Đường thẳng d2 có phương trình tham số dạng \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \).
Trong đó, \( (a; b) \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Từ phương trình của d2: \( \begin{cases} x = 10 – 6t \\ y = 1 + 5t \end{cases} \), ta thấy vectơ chỉ phương của d2 là \( \vec{u_2} = (-6; 5) \).
Bước 3: Chuyển đổi vectơ chỉ phương của d2 thành vectơ pháp tuyến hoặc ngược lại.
Để tính góc giữa hai đường thẳng bằng công thức cosin, chúng ta cần hai vectơ cùng loại (cả hai là pháp tuyến hoặc cả hai là chỉ phương).
Chúng ta có thể tìm vectơ pháp tuyến của d2 từ vectơ chỉ phương của nó.
Nếu \( \vec{u} = (a; b) \) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng, thì \( \vec{n} = (-b; a) \) hoặc \( \vec{n} = (b; -a) \) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
Chọn \( \vec{n_2} = (-5; -6) \) là một vectơ pháp tuyến của d2. (Ta lấy \( a = -6, b = 5 \), vậy \( \vec{n_2} = (-b; a) = (-5; -6) \)).
Bước 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Chúng ta có \( \vec{n_1} = (12; -10) \) và \( \vec{n_2} = (-5; -6) \).
Tích vô hướng của \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \) là:
\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (12)(-5) + (-10)(-6) = -60 + 60 = 0 \).
Độ dài của \( \vec{n_1} \) là:
\( |\vec{n_1}| = \sqrt{12^2 + (-10)^2} = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244} \).
Độ dài của \( \vec{n_2} \) là:
\( |\vec{n_2}| = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \).
Vậy, cosin của góc giữa \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \) là:
\[ \cos(\alpha) = \frac{|0|}{\sqrt{244} \sqrt{61}} = 0 \]
Bước 5: Tìm góc giữa hai đường thẳng.
Vì \( \cos(\alpha) = 0 \), chúng ta suy ra \( \alpha = 90^\circ \).
Điều này có nghĩa là hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau.
Vậy, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 90 độ.
Thầy hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như trên, các em đã hiểu rõ cách tìm góc giữa hai đường thẳng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Đáp án:
\(a) \widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=45^{\circ}\\
b)
\widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=90^{\circ}\\\)
Giải thích các bước giải:
\(a)\overrightarrow{n_{d_1}}=(5;-1)\\
\overrightarrow{n_{d_2}}=(3;2)\\
\Rightarrow \cos\widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=\dfrac{|5.3+(-1).2|}{\sqrt{5^2+(-1)^2}\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\Rightarrow \widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=45^{\circ}\\
b)
\overrightarrow{n_{d_1}}=(12;-10)\\
\overrightarrow{u_{d_2}}=(-6;5)\Rightarrow \overrightarrow{n_{d_2}}=(5;6)\\
\Rightarrow \cos\widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=\dfrac{|12.5+(-10).6|}{\sqrt{12^2+(-10)^2}\sqrt{5^2+6^2}}=0\\
\Rightarrow \widehat{\left ( d_1,d_2 \right )}=90^{\circ}\\\)