Tìm số nghiệm thuộc đoạn [2π;4π] của phương trình sin3x/cosx+1=0
A.6
B.5
C.6
D….
A.6
B.5
C.6
D.7
Mong mọi người chỉ mình cách giải với ạ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Phương trình có chứa mẫu số là \( \cos(x) + 1 \). Để phương trình có nghĩa, mẫu số phải khác 0.
Ta có: \( \cos(x) + 1 \neq 0 \)
Tương đương: \( \cos(x) \neq -1 \)
Chúng ta biết rằng \( \cos(x) = -1 \) khi \( x \) là các góc có điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là điểm \((-1, 0)\). Do đó:
\[ x \neq \pi + k2\pi, (k \in \mathbb{Z}) \]
Đây là điều kiện quan trọng mà chúng ta phải đối chiếu với các nghiệm tìm được ở cuối bài.
Bước 2: Giải phương trình
Với điều kiện xác định ở trên, phương trình \( \frac{\sin(3x)}{\cos(x)+1} = 0 \) tương đương với việc tử số bằng 0.
\[ \sin(3x) = 0 \]
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Áp dụng công thức nghiệm, ta có:
\[ 3x = m\pi, (m \in \mathbb{Z}) \]
Chia cả hai vế cho 3, ta được họ nghiệm của phương trình:
\[ x = \frac{m\pi}{3}, (m \in \mathbb{Z}) \]
Bước 3: Tìm các nghiệm thuộc đoạn [2π; 4π]
Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho nghiệm \(x\) nằm trong đoạn \( [2\pi; 4\pi] \).
Ta có bất phương trình:
\[ 2\pi \le x \le 4\pi \]
Thay \( x = \frac{m\pi}{3} \) vào, ta được:
\[ 2\pi \le \frac{m\pi}{3} \le 4\pi \]
Chia tất cả các vế cho \( \pi \) (vì \( \pi > 0 \)), bất phương trình không đổi chiều:
\[ 2 \le \frac{m}{3} \le 4 \]
Nhân tất cả các vế với 3:
\[ 6 \le m \le 12 \]
Vì \( m \) là số nguyên (\( m \in \mathbb{Z} \)), nên các giá trị có thể có của \(m\) là: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện xác định
Ở bước này, chúng ta phải kiểm tra xem có giá trị nào của \(m\) trong tập {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} làm cho nghiệm \(x\) vi phạm điều kiện \( x \neq \pi + k2\pi \) hay không.
Ta cho nghiệm tìm được bằng với giá trị bị loại:
\[ \frac{m\pi}{3} = \pi + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho \( \pi \):
\[ \frac{m}{3} = 1 + 2k \]
Nhân cả hai vế với 3:
\[ m = 3(1 + 2k) = 3 + 6k \]
Điều này có nghĩa là chúng ta phải loại những giá trị \(m\) có dạng \( 3 + 6k \).
Bây giờ ta xét các giá trị \(m\) đã tìm được ở trên: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Ta kiểm tra xem có giá trị nào trong số này có dạng \( 3 + 6k \) không:
- Với \( k = 0 \), ta có \( m = 3 + 6(0) = 3 \) (không nằm trong danh sách các giá trị m của chúng ta).
- Với \( k = 1 \), ta có \( m = 3 + 6(1) = 9 \) (có nằm trong danh sách các giá trị m của chúng ta).
- Với \( k = 2 \), ta có \( m = 3 + 6(2) = 15 \) (không nằm trong danh sách).
Như vậy, giá trị \( m = 9 \) phải bị loại. Khi \( m = 9 \), ta có nghiệm \( x = \frac{9\pi}{3} = 3\pi \). Tại nghiệm này, \( \cos(3\pi) = -1 \), vi phạm điều kiện xác định.
Bước 5: Kết luận
Sau khi loại giá trị \( m = 9 \), các giá trị hợp lệ của \(m\) là: {6, 7, 8, 10, 11, 12}.
Chúng ta đếm số lượng các giá trị này, có tất cả 6 giá trị.
Mỗi giá trị của \(m\) sẽ cho một nghiệm \(x\) duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy, phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn \( [2\pi; 4\pi] \).
Đối chiếu với các đáp án A, B, C, D thì ta chọn đáp án A hoặc C.
Lưu ý quan trọng nhất trong dạng bài này là không được quên bước tìm điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm em nhé. Chúc em học tốt
Đáp án:
\(C. 6\)
Giải thích các bước giải:
\(ĐK: cosx + 1 \ne 0 ⇔ cosx \ne -1 ⇔ x \ne π + k2π\) (\(k\in mathbb{Z}\))
Ta có: \((sin 3x)/(cos x + 1) = 0\)
\(=> sin 3x = 0\)
\(<=> 3x = k’π\) (\(k’\in mathbb{Z}\))
\(<=> x = k'(π)/3\)
Do \(x ∈ [2π; 4π]\)
\(=> 2π ≤ k'(π)/3 ≤ 4π\)
\(<=> 6π ≤ k’π ≤ 12π\)
\(<=> 6 ≤ k’ ≤ 12\)
Mà \(x \ne π + k2π\) (\(k\in mathbb{Z}\))
\(=> k’ ∈ {6; 7; 8; 10; 11; 12}\)
\(=> C.6\).
\(ĐK: x ne π + k2π\)
Ta có:
\((sin 3x)/(cos x + 1) = 0\)
\(=> sin 3x = 0\)
\(<=> 3x = kπ\)
\(<=> x = k(π)/3\)
Vì \(x ∈ [2π; 4π]\)
\(=> 2π ≤ x ≤ 4π\)
\(<=> 2π ≤ k(π)/3 ≤ 4π\)
\(<=> 6π ≤ kπ ≤ 12π\)
\(<=> 6 ≤ k ≤ 12\)
\(=> k ∈ {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}\)
\(=>\) Chọn \(D\)