Chào em, cô rất vui được hướng dẫn em giải bài tập này. Đây là dạng bài tìm điều kiện để một phân thức có giá trị nguyên, một dạng bài rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Em hãy cùng cô phân tích và giải quyết từng câu nhé!

Mục tiêu của chúng ta là tìm các số nguyên n sao cho giá trị của biểu thức A và B cũng là số nguyên.

Để một phân thức có giá trị nguyên, thì tử số phải chia hết cho mẫu số. Chúng ta sẽ dựa vào tính chất này để giải bài toán.

a) Tìm số nguyên n để biểu thức \( A=\frac{3n+9}{n-4} \) có giá trị nguyên.

Để A nhận giá trị nguyên thì tử số \( (3n+9) \) phải chia hết cho mẫu số \( (n-4) \).

Ta sẽ biến đổi tử số để xuất hiện mẫu số \( (n-4) \). Cách làm như sau:

Bước 1: Biến đổi biểu thức A
Ta có: \( A = \frac{3n+9}{n-4} \)

Cô sẽ tách \( 3n+9 \) như sau:
\( 3n+9 = 3n – 12 + 21 \)
(Tại sao lại là -12? Vì cô muốn tạo ra một số hạng có thể nhóm với \(3n\) để có \(3(n-4)\). Ta có \(3 \times (-4) = -12\). Sau khi có \(-12\), ta phải cộng lại với \(21\) để được kết quả là \(+9\) ban đầu).

Khi đó, biểu thức A trở thành:
\[ A = \frac{(3n-12)+21}{n-4} = \frac{3(n-4)+21}{n-4} \]

Bây giờ, ta tách phân thức này thành hai phần:
\[ A = \frac{3(n-4)}{n-4} + \frac{21}{n-4} \]

Rút gọn ta được:
\[ A = 3 + \frac{21}{n-4} \]

Bước 2: Lập luận và tìm n
Ta thấy A là tổng của số nguyên 3 và phân thức \( \frac{21}{n-4} \).
Để A là một số nguyên, thì phân thức \( \frac{21}{n-4} \) cũng phải có giá trị nguyên.

Điều này chỉ xảy ra khi mẫu số \( (n-4) \) là ước của tử số 21.

Các ước của 21 là: \( \{1; -1; 3; -3; 7; -7; 21; -21\} \).

Do đó, \( n-4 \) phải nhận một trong các giá trị này. Ta lập bảng để tìm n:

\(n-4\)	-21	-7	-3	-1	1	3	7	21
n	-17	-3	1	3	5	7	11	25

Tất cả các giá trị của n tìm được ở trên đều là số nguyên.

Kết luận câu a: Vậy, để biểu thức A có giá trị nguyên, các giá trị của n cần tìm là: \( \{-17; -3; 1; 3; 5; 7; 11; 25\} \).

---

b) Tìm số nguyên n để biểu thức \( B=\frac{6n+5}{2n-1} \) có giá trị nguyên.

Tương tự như câu a, để B nhận giá trị nguyên thì \( (6n+5) \) phải chia hết cho \( (2n-1) \).

Bước 1: Biến đổi biểu thức B
Ta có: \( B = \frac{6n+5}{2n-1} \)

Ta sẽ tìm cách biến đổi tử số \( (6n+5) \) để xuất hiện mẫu số \( (2n-1) \).
Em hãy để ý, \( 6n \) gấp 3 lần \( 2n \). Vậy ta sẽ tách như sau:
\( 6n+5 = 3(2n-1) + 8 \)
(Khi ta nhân ra, \(3(2n-1) = 6n-3\). Mà tử số ban đầu là \(6n+5\), nên ta phải cộng thêm 8 để được kết quả đúng, vì \(-3+8=5\)).

Khi đó, biểu thức B trở thành:
\[ B = \frac{3(2n-1)+8}{2n-1} \]

Tách phân thức này thành hai phần:
\[ B = \frac{3(2n-1)}{2n-1} + \frac{8}{2n-1} \]

Rút gọn ta được:
\[ B = 3 + \frac{8}{2n-1} \]

Bước 2: Lập luận và tìm n
Để B là một số nguyên, thì phân thức \( \frac{8}{2n-1} \) phải có giá trị nguyên.

Điều này xảy ra khi mẫu số \( (2n-1) \) là ước của tử số 8.

Các ước của 8 là: \( \{1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8\} \).

Do đó, \( 2n-1 \) phải nhận một trong các giá trị này. Ta lập bảng để tìm n:

\(2n-1\)	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
2n	-7	-3	-1	0	2	3	5	9
n	-3.5 (Loại)	-1.5 (Loại)	-0.5 (Loại)	0 (Nhận)	1 (Nhận)	1.5 (Loại)	2.5 (Loại)	4.5 (Loại)

Vì đề bài yêu cầu tìm số nguyên n, nên ta chỉ nhận các giá trị n là số nguyên.

Kết luận câu b: Vậy, để biểu thức B có giá trị nguyên, các giá trị của n cần tìm là: \( \{0; 1\} \).

Hy vọng với cách giải chi tiết này, em đã hiểu rõ bài toán. Chúc em học tốt nhé