Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 6, đó là bài toán tìm số nguyên n sao cho một biểu thức chia hết cho một biểu thức khác.

Đề bài của chúng ta hôm nay là: Tìm số nguyên n biết \(2n+3\) chia hết cho \(n-2\).

Các em đừng lo lắng nhé, cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một, đảm bảo ai cũng có thể hiểu và làm được bài tập này.

Bước 1: Hiểu yêu cầu bài toán

Khi đề bài nói ” \(2n+3\) chia hết cho \(n-2\) “, có nghĩa là khi chúng ta thực hiện phép chia \( (2n+3) : (n-2) \), chúng ta sẽ được một số nguyên, không có dư. Hoặc nói cách khác, \(n-2\) là ước của \(2n+3\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức để xuất hiện thừa số chung

Mục tiêu của chúng ta là làm sao để biểu thức \(2n+3\) có thể “lấy ra” được một phần nào đó chia hết cho \(n-2\). Chúng ta sẽ nghĩ cách để làm cho số hạng chứa \(n\) trong \(2n+3\) trở thành một bội số của \(n-2\).

Các em thấy \(2n\) trong biểu thức \(2n+3\). Chúng ta muốn có một biểu thức nào đó liên quan đến \(n-2\).
Nếu chúng ta nhân \(n-2\) với 2, ta sẽ được \(2(n-2) = 2n – 4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cố gắng biểu diễn \(2n+3\) theo \(2n-4\).
Ta có:
\(2n+3 = 2n – 4 + 4 + 3\)
\(2n+3 = (2n – 4) + 7\)

Chúng ta đã làm xuất hiện \(2n-4\), mà \(2n-4\) thì chia hết cho \(n-2\) rồi (vì \(2n-4 = 2(n-2)\)).

Bước 3: Áp dụng tính chất của phép chia hết

Theo đề bài, ta có \(2n+3\) chia hết cho \(n-2\).
Chúng ta vừa biến đổi \(2n+3 = (2n – 4) + 7\).
Vì \(2n-4\) chia hết cho \(n-2\) (do \(2n-4 = 2(n-2)\)), và theo giả thiết \(2n+3\) chia hết cho \(n-2\), nên để tổng \( (2n – 4) + 7 \) chia hết cho \(n-2\), thì số hạng còn lại, tức là 7, cũng phải chia hết cho \(n-2\).

Nói cách khác, nếu \( A \) chia hết cho \( m \) và \( A + B \) chia hết cho \( m \), thì \( B \) phải chia hết cho \( m \). Ở đây, \( A = 2n-4 \), \( B = 7 \), \( m = n-2 \).

Vậy, chúng ta có điều kiện mới là: \(n-2\) phải là ước của 7.

Bước 4: Tìm các ước của 7

Các số nguyên là ước của 7 bao gồm cả số dương và số âm.
Các ước của 7 là: \(1, -1, 7, -7\).

Bước 5: Lập bảng và tìm giá trị của n

Bây giờ, chúng ta sẽ cho \(n-2\) lần lượt bằng từng ước của 7 và tìm giá trị tương ứng của \(n\).

Trường hợp 1: \(n-2 = 1\)
\(n = 1 + 2\)
\(n = 3\)

Trường hợp 2: \(n-2 = -1\)
\(n = -1 + 2\)
\(n = 1\)

Trường hợp 3: \(n-2 = 7\)
\(n = 7 + 2\)
\(n = 9\)

Trường hợp 4: \(n-2 = -7\)
\(n = -7 + 2\)
\(n = -5\)

Bước 6: Kiểm tra lại (quan trọng)

Chúng ta hãy thử lại các giá trị của \(n\) vừa tìm được xem có thỏa mãn đề bài không nhé.

Với \(n=3\): \(2n+3 = 2(3)+3 = 6+3 = 9\). \(n-2 = 3-2 = 1\). \(9\) chia hết cho \(1\). (Thỏa mãn)
Với \(n=1\): \(2n+3 = 2(1)+3 = 2+3 = 5\). \(n-2 = 1-2 = -1\). \(5\) chia hết cho \(-1\). (Thỏa mãn)
Với \(n=9\): \(2n+3 = 2(9)+3 = 18+3 = 21\). \(n-2 = 9-2 = 7\). \(21\) chia hết cho \(7\). (Thỏa mãn)
Với \(n=-5\): \(2n+3 = 2(-5)+3 = -10+3 = -7\). \(n-2 = -5-2 = -7\). \(-7\) chia hết cho \(-7\). (Thỏa mãn)

Kết luận:

Vậy, các giá trị nguyên của \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(n \in \{3, 1, 9, -5\}\).
Chúng ta có thể viết gọn lại là \(n \in \{-5, 1, 3, 9\}\).

Các em thấy không, chỉ cần thực hiện từng bước cẩn thận, chúng ta có thể giải quyết được bài toán này một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!