Thầy rất vui khi nhận được câu hỏi của em. Đây là một bài toán rất hay và cơ bản về tìm tập xác định của hàm số lượng giác, giúp chúng ta củng cố kiến thức về các hàm số \( \tan x \) và \( \cot x \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ rằng một biểu thức toán học chỉ có nghĩa khi tất cả các phép toán trong nó đều thực hiện được.

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước nhé.

Lời giải chi tiết

Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{\tan x}{\cot x – 1} \), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho hàm số có nghĩa. Điều này đồng nghĩa với việc tất cả các điều kiện sau phải được thỏa mãn đồng thời:

• Biểu thức \( \tan x \) phải có nghĩa.
• Biểu thức \( \cot x \) phải có nghĩa.
• Mẫu số \( (\cot x – 1) \) phải khác 0.

Chúng ta sẽ đi xét và giải quyết từng điều kiện một.

Bước 1: Tìm điều kiện để \( \tan x \) có nghĩa.
Ta biết rằng \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).
Hàm số \( \tan x \) có nghĩa khi và chỉ khi mẫu số của nó khác 0.
Tức là: \( \cos x \neq 0 \)
Điều này xảy ra khi \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên bất kỳ (\( k \in \mathbb{Z} \)).

(1)

Bước 2: Tìm điều kiện để \( \cot x \) có nghĩa.
Tương tự, ta có \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \).
Hàm số \( \cot x \) có nghĩa khi và chỉ khi mẫu số của nó khác 0.
Tức là: \( \sin x \neq 0 \)
Điều này xảy ra khi \( x \neq k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

(2)

Bước 3: Tìm điều kiện để mẫu số \( (\cot x – 1) \) khác 0.
Vì hàm số có dạng phân thức, nên mẫu số phải khác 0.
Tức là: \( \cot x – 1 \neq 0 \)
\( \iff \cot x \neq 1 \)
Chúng ta giải phương trình \( \cot x = 1 \). Đây là một phương trình lượng giác cơ bản.
\( \cot x = 1 \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
Do đó, điều kiện là \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

(3)

Bước 4: Kết hợp tất cả các điều kiện.
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi cả ba điều kiện (1), (2), và (3) đều được thỏa mãn. Chúng ta sẽ viết gộp các điều kiện đó lại:

• \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• \( x \neq k\pi \)
• \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \)

(với \( k \in \mathbb{Z} \) trong tất cả các trường hợp)

Kết luận
Vậy, tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho \(x\) không có các dạng trên. Ta có thể viết tập xác định \(D\) của hàm số như sau:

\( D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \).

Hy vọng lời giải trên đã giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé.

Chúc em học tốt