Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài yêu cầu tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\)

Đầu tiên, thầy sẽ gọi đây là phương trình (1).

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên dương cho x, y, z.

Vì x, y, z là các số nguyên dương, nên ta có:
\(x \ge 1\), \(y \ge 1\), \(z \ge 1\).

Từ đó, ta suy ra:
\(\frac{1}{x} \le 1\), \(\frac{1}{y} \le 1\), \(\frac{1}{z} \le 1\).

Bây giờ, chúng ta xét các trường hợp có thể xảy ra.

Trường hợp 1: Có một trong ba số bằng 1.

Giả sử \(x = 1\). Thay vào phương trình (1), ta được:
\(\frac{1}{1} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\)
\(1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\)
\(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) (Đây là phương trình (2))

Bây giờ, chúng ta lại xem xét phương trình (2) với y, z là các số nguyên dương.

Tương tự như trên, ta có:
\(\frac{1}{y} \le 1\) và \(\frac{1}{z} \le 1\).

Nếu \(y = 1\), thay vào phương trình (2):
\(\frac{1}{1} + \frac{1}{z} = 1\)
\(1 + \frac{1}{z} = 1\)
\(\frac{1}{z} = 0\)
Điều này vô lý vì không có số nguyên z nào thỏa mãn \(\frac{1}{z} = 0\).

Do đó, y không thể bằng 1. Vì y là số nguyên dương, nên ta phải có \(y \ge 2\).

Tương tự, ta cũng suy ra \(z \ge 2\).

Từ \(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\), với \(y \ge 2\) và \(z \ge 2\).

Giả sử \(y = 2\). Thay vào phương trình (2):
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{z} = 1\)
\(\frac{1}{z} = 1 – \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(z = 2\).

Vậy, khi \(x = 1\), ta có một bộ nghiệm là \((x, y, z) = (1, 2, 2)\).

Bây giờ, ta xét trường hợp \(y > 2\).

Nếu \(y > 2\), thì \(\frac{1}{y} < \frac{1}{2}\).
Từ phương trình (2): \(\frac{1}{z} = 1 – \frac{1}{y}\).

Vì \(\frac{1}{y} < \frac{1}{2}\), nên \(1 - \frac{1}{y} > 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Do đó, \(\frac{1}{z} > \frac{1}{2}\), suy ra \(z < 2\).
Mà z là số nguyên dương, nên \(z\) chỉ có thể bằng 1. Tuy nhiên, chúng ta đã loại trường hợp \(z=1\) ở trên (vì nếu \(z=1\) thì \(\frac{1}{y} = 0\), vô lý).

Vậy, trường hợp \(y > 2\) không cho nghiệm nguyên.

Tóm lại, khi \(x = 1\), ta có các bộ nghiệm là \((1, 2, 2)\).

Do tính đối xứng của phương trình, nếu ta giả sử \(y = 1\) hoặc \(z = 1\), ta cũng sẽ thu được các bộ nghiệm tương tự, chỉ khác thứ tự.

Nếu \(y = 1\), ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 1\). Tương tự, ta tìm được \(x = 2, z = 2\). Bộ nghiệm \((2, 1, 2)\).

Nếu \(z = 1\), ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\). Tương tự, ta tìm được \(x = 2, y = 2\). Bộ nghiệm \((2, 2, 1)\).

Như vậy, chúng ta đã tìm được 3 bộ nghiệm: \((1, 2, 2)\), \((2, 1, 2)\), \((2, 2, 1)\).

Trường hợp 2: Cả ba số x, y, z đều lớn hơn hoặc bằng 2.

Nếu \(x \ge 2\), \(y \ge 2\), \(z \ge 2\).

Khi đó, ta có:
\(\frac{1}{x} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{z} \le \frac{1}{2}\)

Suy ra:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Nhưng phương trình của chúng ta là \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\).

Vì \(\frac{3}{2} < 2\), nên trường hợp này không thể xảy ra. Tức là, không có bộ ba số nguyên dương x, y, z đều lớn hơn hoặc bằng 2 nào thỏa mãn phương trình đã cho. Trường hợp 3: Có hai trong ba số bằng 1.

Giả sử \(x = 1\) và \(y = 1\). Thay vào phương trình (1):
\(\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{z} = 2\)
\(1 + 1 + \frac{1}{z} = 2\)
\(2 + \frac{1}{z} = 2\)
\(\frac{1}{z} = 0\)

Điều này vô lý, vì không có số nguyên z nào thỏa mãn \(\frac{1}{z} = 0\).

Do đó, trường hợp này không có nghiệm.

Tổng kết lại:

Chúng ta đã xét tất cả các khả năng và chỉ tìm thấy các bộ nghiệm trong Trường hợp 1.

Các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình là hoán vị của bộ số \((1, 2, 2)\).

Các bộ nghiệm là:
(1, 2, 2)
(2, 1, 2)
(2, 2, 1)

Vậy, tập hợp tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình là {(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}.

Các em về nhà ôn lại các bước lập luận này nhé. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng phân tích và xét trường hợp.