Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về biểu thức chứa biến, tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài toán này yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về ước và bội.

Để biểu thức A = \(\frac{3x-2}{2x-3}\) nhận giá trị nguyên, thì tử số (3x-2) phải chia hết cho mẫu số (2x-3).

Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi biểu thức A để làm xuất hiện một phần tử số chia hết cho mẫu số.

Đây là bước quan trọng để chúng ta có thể đưa bài toán về dạng “chia hết”. Thông thường, ta sẽ nhân tử và mẫu với một số thích hợp để có thể tạo ra một biểu thức mà hiệu của nó với mẫu số sẽ trở thành một hằng số.

Ta nhận thấy hệ số của x ở tử là 3 và ở mẫu là 2. Để tạo ra cùng một hệ số của x, ta có thể nhân tử với 2 và mẫu với 3.

Nhân cả tử và mẫu của A với 2:
A = \(\frac{2(3x-2)}{2(2x-3)}\) = \(\frac{6x-4}{4x-6}\)

Nhân cả tử và mẫu của A với 3:
A = \(\frac{3(3x-2)}{3(2x-3)}\) = \(\frac{9x-6}{6x-9}\)

Tuy nhiên, cách trên làm cho mẫu số phức tạp hơn. Thay vào đó, chúng ta sẽ nhân tử số với một số và mẫu số với một số sao cho hệ số của x ở tử và mẫu bằng nhau. Ta nhân tử số với 2 và mẫu số với 3:

Nhân tử số với 2: \(2(3x-2) = 6x-4\)
Nhân mẫu số với 3: \(3(2x-3) = 6x-9\)

Bây giờ, ta sẽ biểu diễn tử số theo mẫu số:
Ta có: \(2A = \frac{2(3x-2)}{2x-3} = \frac{6x-4}{2x-3}\)

Ta muốn tách phần tử số chia hết cho mẫu số ra. Ta thấy \(6x-9\) là một bội của \(2x-3\).
Ta viết lại \(6x-4\) như sau: \(6x-4 = (6x-9) + 5\)

Do đó, \(2A = \frac{(6x-9) + 5}{2x-3}\)

Chia cả tử cho mẫu:
\(2A = \frac{6x-9}{2x-3} + \frac{5}{2x-3}\)
\(2A = \frac{3(2x-3)}{2x-3} + \frac{5}{2x-3}\)
\(2A = 3 + \frac{5}{2x-3}\)

Để A là số nguyên, thì \(2A\) cũng phải là số nguyên.
Điều này có nghĩa là \(3 + \frac{5}{2x-3}\) phải là số nguyên.
Vì 3 là số nguyên, nên \(\frac{5}{2x-3}\) phải là số nguyên.

Bước 2: Tìm điều kiện để một phân số là số nguyên.

Để phân số \(\frac{5}{2x-3}\) là số nguyên, thì tử số 5 phải chia hết cho mẫu số \(2x-3\).
Nói cách khác, \(2x-3\) phải là ước của 5.

Bước 3: Liệt kê tất cả các ước của số 5.

Các ước của 5 là: 1, -1, 5, -5.

Bước 4: Lập các phương trình và tìm giá trị của x.

Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(2x-3 = 1\)
\(2x = 1+3\)
\(2x = 4\)
\(x = \frac{4}{2}\)
\(x = 2\)

Trường hợp 2: \(2x-3 = -1\)
\(2x = -1+3\)
\(2x = 2\)
\(x = \frac{2}{2}\)
\(x = 1\)

Trường hợp 3: \(2x-3 = 5\)
\(2x = 5+3\)
\(2x = 8\)
\(x = \frac{8}{2}\)
\(x = 4\)

Trường hợp 4: \(2x-3 = -5\)
\(2x = -5+3\)
\(2x = -2\)
\(x = \frac{-2}{2}\)
\(x = -1\)

Bước 5: Kiểm tra lại các giá trị của x.

Chúng ta đã tìm được các giá trị nguyên của x là: 2, 1, 4, -1.
Bây giờ, ta sẽ thử thay các giá trị này vào biểu thức A để xem chúng có nhận giá trị nguyên không.

Với x = 2: A = \(\frac{3(2)-2}{2(2)-3} = \frac{6-2}{4-3} = \frac{4}{1} = 4\) (Nguyên)
Với x = 1: A = \(\frac{3(1)-2}{2(1)-3} = \frac{3-2}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1\) (Nguyên)
Với x = 4: A = \(\frac{3(4)-2}{2(4)-3} = \frac{12-2}{8-3} = \frac{10}{5} = 2\) (Nguyên)
Với x = -1: A = \(\frac{3(-1)-2}{2(-1)-3} = \frac{-3-2}{-2-3} = \frac{-5}{-5} = 1\) (Nguyên)

Tất cả các giá trị x tìm được đều làm cho biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Kết luận:

Các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên là: 2, 1, 4, -1.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Chú ý là bước biến đổi biểu thức là rất quan trọng, chúng ta cần linh hoạt để đưa bài toán về dạng dễ dàng xét ước và bội.