Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm nguyên hàm khá thú vị trong chương trình Toán lớp 12. Bài toán của chúng ta là tìm nguyên hàm của hàm số \[\frac{x}{\sqrt{x+2}}\]

Chúng ta sẽ giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước một, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa để các em dễ dàng theo dõi nhé.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Quan sát biểu thức dưới dấu căn là \[x+2\]. Đây là một biểu thức tuyến tính, rất thuận lợi để chúng ta đặt ẩn phụ.
Chúng ta đặt \[t = \sqrt{x+2}\].

Bước 2: Biểu diễn dx theo dt

Từ phép đặt \[t = \sqrt{x+2}\], chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa \[dx\] và \[dt\].
Bình phương hai vế của phương trình đặt ẩn phụ, ta được:
\[t^2 = x+2\]
Từ đây, ta suy ra:
\[x = t^2 – 2\]

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy đạo hàm hai vế theo \[t\]:
\[\frac{d(x)}{dt} = \frac{d(t^2 – 2)}{dt}\]
\[\frac{dx}{dt} = 2t\]
Suy ra:
\[dx = 2t \, dt\]

Bước 3: Đổi biến trong biểu thức nguyên hàm

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức trong nguyên hàm ban đầu bằng các biểu thức tương ứng theo \[t\].
Nguyên hàm ban đầu có dạng: \[\int \frac{x}{\sqrt{x+2}} dx\]

Thay \[x = t^2 – 2\] và \[\sqrt{x+2} = t\] và \[dx = 2t \, dt\] vào, ta được nguyên hàm mới theo biến \[t\]:
\[\int \frac{t^2 – 2}{t} \cdot (2t \, dt)\]

Bước 4: Rút gọn và tính nguyên hàm theo biến mới

Chúng ta tiếp tục rút gọn biểu thức trong nguyên hàm mới:
\[\int \frac{t^2 – 2}{t} \cdot (2t \, dt) = \int (t^2 – 2) \cdot 2 \, dt\]
\[= \int (2t^2 – 4) \, dt\]

Bây giờ, chúng ta áp dụng các quy tắc tính nguyên hàm cơ bản mà chúng ta đã học:
– Nguyên hàm của \[at^n\] là \[\frac{a t^{n+1}}{n+1} + C\] (với \[n \neq -1\])
– Nguyên hàm của một hằng số \[k\] là \[kt + C\]
– Nguyên hàm của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các nguyên hàm.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\[\int (2t^2 – 4) \, dt = \int 2t^2 \, dt – \int 4 \, dt\]
\[= 2 \int t^2 \, dt – 4 \int 1 \, dt\]
\[= 2 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} – 4 \cdot t + C\]
\[= 2 \cdot \frac{t^3}{3} – 4t + C\]
\[= \frac{2}{3}t^3 – 4t + C\]

Bước 5: Trả lại biến cũ

Cuối cùng, chúng ta cần thay thế biến \[t\] trở lại bằng biến \[x\] để có kết quả cuối cùng.
Nhớ rằng chúng ta đã đặt \[t = \sqrt{x+2}\].
Thay \[t = \sqrt{x+2}\] vào kết quả vừa tìm được:
\[\frac{2}{3}(\sqrt{x+2})^3 – 4\sqrt{x+2} + C\]

Chúng ta có thể viết lại \[(\sqrt{x+2})^3\] thành \[(x+2)\sqrt{x+2}\] để biểu thức gọn gàng hơn:
\[\frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} – 4\sqrt{x+2} + C\]

Các em có thể nhóm thừa số chung \[\sqrt{x+2}\] ra ngoài nếu muốn:
\[= \sqrt{x+2} \left( \frac{2}{3}(x+2) – 4 \right) + C\]
\[= \sqrt{x+2} \left( \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} – \frac{12}{3} \right) + C\]
\[= \sqrt{x+2} \left( \frac{2}{3}x – \frac{8}{3} \right) + C\]
\[= \frac{2}{3}\sqrt{x+2} (x – 4) + C\]

Vậy, nguyên hàm của hàm số \[\frac{x}{\sqrt{x+2}}\] là \[\frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} – 4\sqrt{x+2} + C\] hoặc \[\frac{2}{3}\sqrt{x+2} (x – 4) + C\].

Chúc các em ôn tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!