Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập tìm x khá thú vị liên quan đến phân số. Chúng ta cùng nhau phân tích và tìm ra lời giải chi tiết nhé.

Đề bài yêu cầu: Tìm số nguyên x sao cho phân số \(\frac{14-x}{4-x}\) có giá trị lớn nhất.

Các em lưu ý, đề bài yêu cầu x là số nguyên, tức là x có thể là số dương, số âm hoặc số 0.

Để phân số này lớn nhất, chúng ta cần biến đổi nó về một dạng dễ phân tích hơn.
Ta thấy ở tử số có \(14-x\) và ở mẫu số có \(4-x\). Ta có thể tách \(14-x\) thành một phần liên quan đến \(4-x\).

Bước 1: Biến đổi tử số để xuất hiện \(4-x\).
Ta có: \(14-x = (4-x) + 10\)

Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào phân số ban đầu.
Phân số đã cho trở thành:
\(\frac{(4-x) + 10}{4-x}\)

Bước 3: Tách phân số thành tổng của hai phân số.
\(\frac{(4-x) + 10}{4-x} = \frac{4-x}{4-x} + \frac{10}{4-x}\)

Bước 4: Rút gọn phân số đầu tiên.
Với điều kiện \(4-x \neq 0\), ta có \(\frac{4-x}{4-x} = 1\).
Vậy phân số của chúng ta trở thành: \(1 + \frac{10}{4-x}\)

Bây giờ, để biểu thức \(1 + \frac{10}{4-x}\) đạt giá trị lớn nhất, thì phần \(\frac{10}{4-x}\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Bước 5: Phân tích để \(\frac{10}{4-x}\) đạt giá trị lớn nhất.
Để một phân số có tử số dương (ở đây là 10) lớn nhất, ta cần làm cho mẫu số của nó nhỏ nhất và dương.
Tức là, \(4-x\) phải là một số nguyên dương nhỏ nhất.

Các số nguyên dương là: 1, 2, 3, 4, …
Số nguyên dương nhỏ nhất là 1.

Vậy, ta đặt \(4-x = 1\).

Bước 6: Tìm x từ điều kiện tìm được ở Bước 5.
\(4-x = 1\)
\(x = 4 – 1\)
\(x = 3\)

Bước 7: Kiểm tra lại điều kiện của mẫu số.
Khi \(x=3\), mẫu số là \(4-3 = 1\), khác 0. Vậy giá trị \(x=3\) thỏa mãn điều kiện.

Bước 8: Tính giá trị lớn nhất của phân số tại \(x=3\).
Thay \(x=3\) vào phân số ban đầu:
\(\frac{14-3}{4-3} = \frac{11}{1} = 11\)

Hoặc thay vào biểu thức đã biến đổi:
\(1 + \frac{10}{4-3} = 1 + \frac{10}{1} = 1 + 10 = 11\)

Vậy, giá trị lớn nhất của phân số là 11, đạt được khi \(x=3\).

Kết luận:
Số nguyên \(x\) để phân số \(\frac{14-x}{4-x}\) đạt giá trị lớn nhất là \(x=3\).

Các em thấy không, chỉ cần biến đổi phân số một chút là chúng ta đã có thể tìm ra lời giải một cách dễ dàng. Các em hãy ghi nhớ cách biến đổi này để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!