Chào các em,

Thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải bài toán tìm x này một cách chi tiết và dễ hiểu nhé. Dạng bài này thuộc kiến thức về lũy thừa của một số hữu tỉ mà chúng ta đã học trong chương trình Toán 7. Mục tiêu chính là vận dụng các quy tắc về lũy thừa để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

Lưu ý nhỏ: Đề bài các em cung cấp có thể có một chút nhầm lẫn trong cách gõ. Thầy/cô đoán rằng đề bài đúng và phổ biến nhất sẽ là tìm x biết: \((\frac{2}{3})^{x+2} + (\frac{2}{3})^{x+1} = \frac{20}{27}\). Thầy/cô sẽ giải theo dạng bài này nhé.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

• Bước 1: Phân tích và đặt thừa số chung
  Mục tiêu của chúng ta là biến đổi vế trái của phương trình để có thể rút gọn. Ta nhận thấy cả hai số hạng đều có chung cơ số là \(\frac{2}{3}\) và có số mũ gần giống nhau là \(x+2\) và \(x+1\).
  Chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số (theo chiều ngược lại): \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\).
  Áp dụng vào bài toán, ta có thể viết lại số hạng đầu tiên như sau:
  \((\frac{2}{3})^{x+2} = (\frac{2}{3})^{(x+1)+1} = (\frac{2}{3})^{x+1} \cdot (\frac{2}{3})^1 = (\frac{2}{3})^{x+1} \cdot \frac{2}{3}\)

  Khi đó, phương trình ban đầu trở thành:
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{x+1} = \frac{20}{27}\]
  Bây giờ, ta thấy vế trái có thừa số chung là \((\frac{2}{3})^{x+1}\). Ta sẽ áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt nó ra ngoài dấu ngoặc:
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} \cdot (\frac{2}{3} + 1) = \frac{20}{27}\]

• Bước 2: Tính toán giá trị trong dấu ngoặc
  Ta thực hiện phép cộng ở trong dấu ngoặc để biểu thức trở nên gọn gàng hơn:
  \[\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\]
  Thay kết quả này vào phương trình, ta được:
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{27}\]
• Bước 3: Tìm số hạng chứa lũy thừa \((\frac{2}{3})^{x+1}\)
  Để tìm \((\frac{2}{3})^{x+1}\), ta xem nó như một thừa số chưa biết trong một phép nhân. Ta sẽ lấy tích chia cho thừa số đã biết.
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} = \frac{20}{27} : \frac{5}{3}\]
  Thực hiện phép chia hai phân số (nhân với phân số nghịch đảo):
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} = \frac{20}{27} \cdot \frac{3}{5}\]
  Rút gọn các thừa số ở tử và mẫu, ta có:
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} = \frac{20 \cdot 3}{27 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 3}{9 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{9}\]
• Bước 4: Đưa hai vế về cùng cơ số
  Đây là bước quan trọng nhất! Để giải phương trình mũ, phương pháp cơ bản ở lớp 7 là đưa hai vế về dạng lũy thừa có cùng cơ số. Cơ số ở vế trái là \(\frac{2}{3}\).
  Ta cần biểu diễn số \(\frac{4}{9}\) ở vế phải dưới dạng lũy thừa có cơ số \(\frac{2}{3}\). Ta nhận thấy:
  \[\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2}\]
  Áp dụng công thức lũy thừa của một thương: \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\), ta có:
  \[\frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2\]
  Vậy, phương trình của chúng ta bây giờ là:
  \[(\frac{2}{3})^{x+1} = (\frac{2}{3})^2\]
• Bước 5: Giải tìm x và kết luận
  Chúng ta sử dụng tính chất cơ bản: Nếu \(a^m = a^n\) (với \(a \ne 0; a \ne \pm1\)) thì \(m = n\).
  Khi hai lũy thừa bằng nhau và có cùng cơ số (ở đây là \(\frac{2}{3}\)), thì số mũ của chúng phải bằng nhau.
  Từ đó, ta suy ra:
  \[x + 1 = 2\]
  Giải phương trình đơn giản này, ta tìm được:
  \[x = 2 – 1\]
  \[x = 1\]

Kết luận

Vậy giá trị của x cần tìm là 1.

Hy vọng với cách giải thích từng bước như trên, các em đã hiểu rõ cách làm bài tập này. Đây là một dạng toán rất hay và quan trọng, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức và vận dụng các công thức lũy thừa. Chúc các em học tốt!