Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm x khá thú vị, liên quan đến phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 8, cả ba bộ sách giáo khoa mới đều có thể gặp dạng tương tự. Chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức về biến đổi phương trình và điều kiện xác định để giải quyết nó một cách cẩn thận nhé.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của phương trình.
Trước tiên, chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số của các phân thức trong phương trình không bằng 0. Điều này là do phép chia cho 0 là không xác định trong toán học.
Trong phương trình đã cho, các mẫu số là (x+4) và (x-4).
Vậy, ta có các điều kiện:
x + 4 ≠ 0 => x ≠ -4
x – 4 ≠ 0 => x ≠ 4
Kết hợp cả hai điều kiện, ta có x ≠ ±4. Đây là điều kiện bắt buộc để nghiệm tìm được là hợp lệ.

Bước 2: Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình.
Để kết hợp các phân thức, chúng ta cần đưa chúng về cùng một mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất (BCNN) của (x+4) và (x-4) chính là tích của chúng: (x+4)(x-4).
Chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với các biểu thức tương ứng để có được mẫu số chung này.

Phương trình ban đầu: 80/(x+4) + 80/(x-4) = 25/3

Quy đồng vế trái:

(80 (x-4)) / ((x+4) (x-4)) + (80 (x+4)) / ((x-4) (x+4)) = 25/3

80(x-4) / (x^2 – 16) + 80(x+4) / (x^2 – 16) = 25/3

(80x – 320 + 80x + 320) / (x^2 – 16) = 25/3

160x / (x^2 – 16) = 25/3

Bước 3: Khử mẫu và đưa về phương trình bậc hai.
Bây giờ, chúng ta đã có một phương trình với một phân thức ở mỗi vế. Chúng ta có thể nhân chéo để loại bỏ mẫu số.

160x 3 = 25 (x^2 – 16)

480x = 25x^2 – 400

Bước 4: Sắp xếp phương trình về dạng phương trình bậc hai chuẩn (ax^2 + bx + c = 0).
Để giải phương trình bậc hai, chúng ta cần đưa tất cả các hạng tử về một vế và cho vế còn lại bằng 0.

25x^2 – 480x – 400 = 0

Bước 5: Rút gọn phương trình (nếu có thể).
Chúng ta nhận thấy tất cả các hệ số (25, -480, -400) đều chia hết cho 5. Việc chia cả phương trình cho một số chung sẽ giúp các phép tính sau này trở nên đơn giản hơn.

Chia cả hai vế cho 5:

5x^2 – 96x – 80 = 0

Bước 6: Giải phương trình bậc hai.
Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng nhiều cách, ví dụ như sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, thầy/cô sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0, với nghiệm được tính bằng công thức:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Trong phương trình 5x^2 – 96x – 80 = 0, ta có:
a = 5
b = -96
c = -80

Tính biệt thức Delta:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-96)^2 – 4 5 (-80) \]
\[ \Delta = 9216 + 1600 \]
\[ \Delta = 10816 \]

Tính căn bậc hai của Delta:
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} = 104 \]

Tìm hai nghiệm x1 và x2:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-96) + 104}{2 * 5} = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20 \]

\[ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-96) – 104}{2 * 5} = \frac{96 – 104}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} \]

Bước 7: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.
Cuối cùng, chúng ta cần so sánh các nghiệm tìm được với điều kiện xác định ban đầu (x ≠ ±4).

Nghiệm x1 = 20. So với điều kiện x ≠ ±4, thì 20 hoàn toàn thỏa mãn.

Nghiệm x2 = -4/5. So với điều kiện x ≠ ±4, thì -4/5 cũng hoàn toàn thỏa mãn.

Kết luận:
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 20 và x = -4/5.

Chúc các em luôn học tốt môn Toán! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé.