Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một số bài tập về phương trình bậc hai rất thú vị, dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Toán lớp 8. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy hướng dẫn nhé!

Bài tập 1: Tìm x biết (2x-3)² – (2x-3)(2x+3) = 0

Đây là một dạng phương trình mà chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Các em hãy quan sát kỹ hai hạng tử của phương trình:

* Hạng tử thứ nhất là \( (2x-3)^2 \)
* Hạng tử thứ hai là \( (2x-3)(2x+3) \)

Chúng ta thấy rằng, hạng tử \( (2x-3) \) xuất hiện ở cả hai vế. Đây chính là nhân tử chung của chúng ta!

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\( (2x-3)(2x-3) – (2x-3)(2x+3) = 0 \)

Bây giờ, ta đặt \( (2x-3) \) làm nhân tử chung:
\( (2x-3) [ (2x-3) – (2x+3) ] = 0 \)

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép tính bên trong dấu ngoặc vuông:
\( (2x-3) – (2x+3) = 2x – 3 – 2x – 3 \)
\( = (2x – 2x) + (-3 – 3) \)
\( = 0 + (-6) \)
\( = -6 \)

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
\( (2x-3) (-6) = 0 \)

Bước 3: Giải phương trình tích

Chúng ta có một phương trình dạng tích: một số nhân với một biểu thức bằng 0. Để phương trình này đúng, hoặc là thừa số thứ nhất bằng 0, hoặc là thừa số thứ hai bằng 0.

* Thừa số thứ hai là \( -6 \), rõ ràng \( -6 \neq 0 \).
* Vậy, thừa số thứ nhất phải bằng 0: \( 2x – 3 = 0 \)

Bước 4: Tìm x

Bây giờ, chúng ta giải phương trình \( 2x – 3 = 0 \):
\( 2x = 3 \)
\( x = \frac{3}{2} \)

Kết luận bài 1: Vậy giá trị của x là \( \frac{3}{2} \).

—

Bài tập 2: Tìm x biết (3-4x)² – 3(4x-3) = 0

Bài tập này hơi khác một chút. Các em để ý hai biểu thức trong ngoặc: \( (3-4x) \) và \( (4x-3) \). Chúng có mối quan hệ gì với nhau nhỉ?

Ta thấy rằng \( (4x-3) = -(3-4x) \). Đây là mấu chốt để chúng ta đưa về dạng nhân tử chung.

Bước 1: Biến đổi để có nhân tử chung

Ta viết lại \( (4x-3) \) thành \( -(3-4x) \):
\( (3-4x)^2 – 3 [ -(3-4x) ] = 0 \)

Bây giờ, ta nhân dấu trừ vào trong ngoặc:
\( (3-4x)^2 + 3(3-4x) = 0 \)

Quan sát, chúng ta thấy nhân tử chung bây giờ là \( (3-4x) \).

Bước 2: Đặt nhân tử chung

Ta đặt \( (3-4x) \) làm nhân tử chung:
\( (3-4x) [ (3-4x) + 3 ] = 0 \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông

Thực hiện phép tính trong ngoặc vuông:
\( (3-4x) + 3 = 3 – 4x + 3 \)
\( = (3+3) – 4x \)
\( = 6 – 4x \)

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
\( (3-4x) (6-4x) = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình tích

Chúng ta có phương trình tích: \( (3-4x) (6-4x) = 0 \).
Điều này xảy ra khi một trong hai thừa số bằng 0.

* Trường hợp 1: \( 3 – 4x = 0 \)
\( 4x = 3 \)
\( x = \frac{3}{4} \)

* Trường hợp 2: \( 6 – 4x = 0 \)
\( 4x = 6 \)
\( x = \frac{6}{4} \)
\( x = \frac{3}{2} \) (rút gọn phân số)

Kết luận bài 2: Vậy các giá trị của x là \( x = \frac{3}{4} \) và \( x = \frac{3}{2} \).

—

Bài tập 3: Tìm x biết (x-5)(x+5) – 15x + 75 = 0

Ở bài này, chúng ta cần nhận ra ngay một hằng đẳng thức quen thuộc.

Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức

Ta thấy \( (x-5)(x+5) \) là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).
Áp dụng vào bài toán với \( a=x \) và \( b=5 \), ta có:
\( (x-5)(x+5) = x^2 – 5^2 = x^2 – 25 \)

Bây giờ, ta xem xét phần còn lại của phương trình: \( -15x + 75 \). Chúng ta thử xem có thể nhóm nhân tử chung được không.

Ta thấy \( 75 = 15 \times 5 \). Vậy ta có thể đặt 15 làm nhân tử chung:
\( -15x + 75 = -15(x – 5) \)

Bước 2: Viết lại phương trình

Thay thế vào phương trình ban đầu, ta được:
\( (x^2 – 25) – 15(x – 5) = 0 \)

Bước 3: Tiếp tục phân tích

Chúng ta thấy \( x^2 – 25 \) cũng có thể phân tích thành nhân tử bằng hiệu hai bình phương: \( x^2 – 25 = (x-5)(x+5) \).

Vậy phương trình trở thành:
\( (x-5)(x+5) – 15(x-5) = 0 \)

Bây giờ, chúng ta lại có nhân tử chung là \( (x-5) \).

Bước 4: Đặt nhân tử chung

Ta đặt \( (x-5) \) làm nhân tử chung:
\( (x-5) [ (x+5) – 15 ] = 0 \)

Bước 5: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông

Thực hiện phép tính trong ngoặc vuông:
\( (x+5) – 15 = x + 5 – 15 \)
\( = x – 10 \)

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
\( (x-5) (x-10) = 0 \)

Bước 6: Giải phương trình tích

Chúng ta có phương trình tích: \( (x-5) (x-10) = 0 \).
Điều này xảy ra khi một trong hai thừa số bằng 0.

* Trường hợp 1: \( x – 5 = 0 \)
\( x = 5 \)

* Trường hợp 2: \( x – 10 = 0 \)
\( x = 10 \)

Kết luận bài 3: Vậy các giá trị của x là \( x = 5 \) và \( x = 10 \).

—

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và phương pháp đặt nhân tử chung, chúng ta có thể giải quyết các bài toán này một cách dễ dàng. Hãy nhớ ôn tập kỹ các kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!