Tìm X, biết: x^3-2x^2-x+2=0

Chào các em học sinh thân mến! Cô (hoặc thầy) rất vui được hướng dẫn các em giải một bài toán quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm giá trị của x để phương trình đã cho bằng 0.

Phương trình cần giải là:

$$x^3–2x^2–x+2=0$$

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình bậc ba này ở cấp độ lớp 8, phương pháp hiệu quả nhất mà chúng ta thường sử dụng là phân tích đa thức thành nhân tử. Mục tiêu của phương pháp này là biến đổi phương trình ban đầu thành dạng tích của các biểu thức đơn giản hơn (thường là bậc nhất hoặc bậc hai), rồi sau đó áp dụng quy tắc “một tích bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0” để tìm các giá trị của x.

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.

Chúng ta nhận thấy đa thức $x^3–2x^2–x+2$ có 4 hạng tử. Chúng ta có thể nhóm chúng lại để tìm nhân tử chung. Chúng ta sẽ nhóm hai hạng tử đầu tiên và hai hạng tử cuối cùng với nhau:

$$(x^3–2x^2)–(x–2)=0$$

(Lưu ý: Khi nhóm $–x+2$ thành $–(x–2)$, chúng ta phải đổi dấu các hạng tử bên trong dấu ngoặc.)

Bước 2: Đặt nhân tử chung trong từng nhóm.

Trong nhóm $x^3–2x^2$, chúng ta thấy rằng $x^2$ là nhân tử chung. Khi đặt $x^2$ ra ngoài, phần còn lại sẽ là $x–2$.

Vậy, phương trình trở thành:

$$x^2(x–2)–1(x–2)=0$$

(Chúng ta viết $x–2$ thành $1(x–2)$ để dễ dàng nhận diện nhân tử chung ở bước tiếp theo.)

Bước 3: Đặt nhân tử chung là một biểu thức.

Bây giờ, chúng ta thấy rằng $(x–2)$ là nhân tử chung của cả hai cụm $x^2(x–2)$ và $–1(x–2)$. Chúng ta sẽ đặt $(x–2)$ ra ngoài làm nhân tử chung.

Ta được:

$$(x–2)(x^2–1)=0$$

Bước 4: Tiếp tục phân tích nhân tử (nếu có thể).

Biểu thức $x^2–1$ là một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học trong chương trình lớp 8: hiệu hai bình phương. Công thức tổng quát là $A^2–B^2=(A–B)(A+B)$.

Ở đây, $x^2–1$ có thể viết thành $x^2–1^2$. Vậy, $A=x$ và $B=1$.

Do đó, $x^2–1=(x–1)(x+1)$.

Thay thế vào phương trình ở Bước 3, ta được:

$$(x–2)(x–1)(x+1)=0$$

Bước 5: Giải phương trình tích.

Như đã nói ở đầu, một tích các thừa số bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số đó bằng 0. Chúng ta sẽ xét từng trường hợp để tìm các giá trị của x:

Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0

$$x–2=0$$

Chuyển -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu, ta được:

$$x=2$$

Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0

$$x–1=0$$

Chuyển -1 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu, ta được:

$$x=1$$

Trường hợp 3: Thừa số thứ ba bằng 0

$$x+1=0$$

Chuyển +1 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu, ta được:

$$x=–1$$

Bước 6: Kết luận.

Vậy, phương trình đã cho có ba nghiệm là $x=2$, $x=1$ và $x=–1$.

Tập hợp nghiệm của phương trình là $S=\{–1;1;2\}$.

Cô/thầy hy vọng lời giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán này một cách cặn kẽ. Hãy luyện tập thêm các bài toán tương tự để nắm vững kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình tích nhé!