Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến giá trị nguyên của biểu thức. Đây là dạng bài khá phổ biến trong chương trình Toán 9, giúp các em rèn luyện khả năng phân tích và đánh giá biểu thức.

Đề bài yêu cầu: tìm x để biểu thức \( \frac{x+1}{x^2+5} \) nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt biểu thức và xác định điều kiện.

Để dễ dàng làm việc, ta đặt biểu thức đã cho là \( A \).

\[ A = \frac{x+1}{x^2+5} \]
Yêu cầu của bài toán là tìm \( x \) sao cho \( A \in \mathbb{Z} \).

Lý do: Việc đặt tên cho biểu thức giúp chúng ta gọi và tham chiếu đến nó một cách gọn gàng, rõ ràng hơn trong quá trình giải.

Trong các bài toán dạng này ở lớp 9, thường ngầm hiểu chúng ta đang tìm các giá trị \( x \) là số nguyên (hoặc đôi khi là số thực, nhưng với dạng phân thức mà mẫu có bậc cao hơn tử như thế này, việc tìm \( x \) nguyên sẽ là mục tiêu chính). Với phạm vi kiến thức lớp 9, chúng ta sẽ tập trung tìm các giá trị \( x \) là số nguyên.

Trước hết, ta nhận thấy mẫu số \( x^2+5 \). Vì \( x^2 \ge 0 \) với mọi \( x \), nên \( x^2+5 \ge 5 \) với mọi \( x \). Điều này có nghĩa là mẫu số luôn dương và khác 0, nên biểu thức \( A \) luôn xác định.

Lý do: Việc xác định mẫu số luôn dương và khác 0 giúp chúng ta yên tâm thực hiện các phép biến đổi mà không lo bị chia cho 0 hay thay đổi dấu bất đẳng thức khi nhân/chia với mẫu số.

Bước 2: Xét trường hợp đặc biệt khi tử số bằng 0.

Nếu \( A = 0 \), thì tử số phải bằng 0.
\( x+1 = 0 \)

\( x = -1 \)

Với \( x = -1 \), ta có \( A = \frac{-1+1}{(-1)^2+5} = \frac{0}{1+5} = \frac{0}{6} = 0 \).
Vì \( 0 \) là một số nguyên, nên \( x = -1 \) là một giá trị của \( x \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lý do: Luôn xét trường hợp tử số bằng 0 trước vì đây là trường hợp đơn giản nhất có thể dẫn đến giá trị nguyên cho biểu thức phân số.

Bước 3: Xét trường hợp \( A \ne 0 \).

Nếu \( A \) là một số nguyên khác 0, thì \( |A| \ge 1 \).

Điều này có nghĩa là:
\[ \left| \frac{x+1}{x^2+5} \right| \ge 1 \]
Vì \( x^2+5 > 0 \) với mọi \( x \), ta có thể viết lại bất đẳng thức trên như sau:
\[ |x+1| \ge x^2+5 \]

Lý do: Khi một số nguyên khác 0, giá trị tuyệt đối của nó phải lớn hơn hoặc bằng 1. Sử dụng tính chất này giúp chúng ta “khóa” biểu thức trong một khoảng giá trị nhất định, từ đó giới hạn các giá trị của \( x \).

Chúng ta sẽ chia thành hai trường hợp nhỏ dựa vào dấu của \( x+1 \):

Trường hợp 3.1: \( x+1 > 0 \) (tức là \( x > -1 \)).

Nếu \( x+1 > 0 \), thì \( |x+1| = x+1 \).
Bất đẳng thức trở thành:
\( x+1 \ge x^2+5 \)

Chuyển vế tất cả các hạng tử sang một bên:
\( 0 \ge x^2 – x + 4 \)

Hay \( x^2 – x + 4 \le 0 \)

Để kiểm tra điều này, chúng ta sẽ phân tích biểu thức bậc hai \( x^2 – x + 4 \) bằng phương pháp hoàn thành bình phương:

\[ x^2 – x + 4 = \left(x^2 – x + \frac{1}{4}\right) + 4 – \frac{1}{4} \]
\[ = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{4} \]

Lý do: Phương pháp hoàn thành bình phương là một công cụ mạnh mẽ để tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của một tam thức bậc hai, hoặc để chứng minh tam thức đó luôn dương/âm. Ở đây, ta muốn xem nó có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 hay không.

Vì \( \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \), nên \( \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{4} \ge \frac{15}{4} \).

Điều này có nghĩa là \( x^2 – x + 4 \) luôn lớn hơn hoặc bằng \( \frac{15}{4} \), tức là luôn dương.
Vậy \( x^2 – x + 4 > 0 \) với mọi \( x \).
Do đó, bất đẳng thức \( x^2 – x + 4 \le 0 \) là vô lý (không bao giờ xảy ra).

Điều này chứng tỏ trong trường hợp \( x > -1 \) và \( A \ne 0 \), không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn.

Trường hợp 3.2: \( x+1 < 0 \) (tức là \( x < -1 \)).

Nếu \( x+1 < 0 \), thì \( |x+1| = -(x+1) = -x-1 \). Bất đẳng thức trở thành: \( -x-1 \ge x^2+5 \)

Chuyển vế tất cả các hạng tử sang một bên:
\( 0 \ge x^2 + x + 6 \)

Hay \( x^2 + x + 6 \le 0 \)

Tương tự, chúng ta phân tích biểu thức bậc hai \( x^2 + x + 6 \) bằng phương pháp hoàn thành bình phương:

\[ x^2 + x + 6 = \left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) + 6 – \frac{1}{4} \]
\[ = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{23}{4} \]

Vì \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \), nên \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{23}{4} \ge \frac{23}{4} \).

Điều này có nghĩa là \( x^2 + x + 6 \) luôn lớn hơn hoặc bằng \( \frac{23}{4} \), tức là luôn dương.
Vậy \( x^2 + x + 6 > 0 \) với mọi \( x \).
Do đó, bất đẳng thức \( x^2 + x + 6 \le 0 \) là vô lý (không bao giờ xảy ra).

Điều này chứng tỏ trong trường hợp \( x < -1 \) và \( A \ne 0 \), không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn.

Bước 4: Kết luận.

Từ các trường hợp đã xét:

• Trường hợp \( A=0 \) cho ta nghiệm \( x=-1 \).
• Trường hợp \( A \ne 0 \) không cho ta nghiệm nào.

Vậy, giá trị \( x \) duy nhất để biểu thức \( \frac{x+1}{x^2+5} \) nhận giá trị nguyên là \( x = -1 \).

Các em nhớ rằng, việc phân tích từng bước và sử dụng các phương pháp cơ bản như hoàn thành bình phương là rất quan trọng để giải quyết các bài toán dạng này một cách chặt chẽ và chính xác nhé!

Chúc các em học tốt!