Tìm x: x^3-9x^2+27x-27=-8

Chào các em học sinh yêu quý!

Để giải bài toán tìm $x$ trong phương trình đã cho, chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức về Hằng đẳng thức đáng nhớ và giải phương trình đã học trong chương trình Toán lớp 8.

Chúng ta có phương trình: $$x^3–9x^2+27x–27=–8$$

Bước 1: Nhận diện và biến đổi vế trái của phương trình.

Chúng ta quan sát vế trái của phương trình là $x^3–9x^2+27x–27$.

Lý do chọn phương pháp: Vế trái của phương trình có bốn hạng tử, với bậc cao nhất là 3 và các dấu xen kẽ ($+,–,+,–$). Đây là dấu hiệu của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu, có dạng tổng quát là:

$${(a–b)}^3=a^3–3a^{2}b+3a{b}^2–b^3$$

Chúng ta sẽ so sánh vế trái của phương trình với hằng đẳng thức này:

• Hạng tử đầu tiên là $x^3$. Ta có thể nhận thấy $a=x$.
• Hạng tử cuối cùng là $–27$. Vì $27=3^3$, nên ta có thể nhận thấy $b=3$.

Bây giờ, chúng ta kiểm tra hai hạng tử ở giữa với $a=x$ và $b=3$:

• Hạng tử thứ hai: $–3a^{2}b=–3\cdot x^2\cdot 3=–9x^2$. (Khớp với hạng tử thứ hai trong phương trình).
• Hạng tử thứ ba: $3a{b}^2=3\cdot x\cdot 3^2=3\cdot x\cdot 9=27x$. (Khớp với hạng tử thứ ba trong phương trình).

Như vậy, vế trái của phương trình chính là ${(x–3)}^3$.

Bước 2: Viết lại phương trình.

Thay vế trái đã được rút gọn vào phương trình ban đầu, ta được:

$${(x–3)}^3=–8$$

Bước 3: Biến đổi vế phải về dạng lập phương và giải phương trình.

Lý do chọn phương pháp: Để giải phương trình dạng $A^3=k$, ta cần biểu diễn $k$ dưới dạng lập phương của một số, tức là $k=B^3$. Khi đó, phương trình trở thành $A^3=B^3$.

Đối với số thực, nếu $A^3=B^3$ thì $A=B$. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $A^3–B^3=(A–B)(A^2+AB+B^2)=0$. Vì $A^2+AB+B^2={(A+\frac{B}{2})}^2+\frac{3}{4}{B}^2\ge 0$ và chỉ bằng 0 khi $A=B=0$, nên để tích bằng 0, ta phải có $A–B=0$, tức là $A=B$.

Ta thấy $–8$ có thể viết dưới dạng lập phương của một số:
$$–8={(–2)}^3$$

Vậy, phương trình trở thành:

$${(x–3)}^3={(–2)}^3$$

Từ đó, ta suy ra:

$$x–3=–2$$

Bước 4: Giải phương trình bậc nhất tìm $x$.

Để tìm $x$, chúng ta chuyển hạng tử $–3$ từ vế trái sang vế phải và đổi dấu:

$$x=mo>-2+3$$

Thực hiện phép tính cộng:

$$x=1$$

Vậy, giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình là $1$.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S=\{1\}$.