Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm x rất thú vị, đòi hỏi các em vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức đáng nhớ. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải nhé!

Bài toán: Tìm x biết \(4(2x+7)^2- 9(x+3)^2=0\)

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ quan sát thấy rằng cả hai số hạng đều có dạng tích của một số với một bình phương. Cụ thể, số hạng thứ nhất là \(4(2x+7)^2\) và số hạng thứ hai là \(9(x+3)^2\). Mục tiêu của chúng ta là biến đổi chúng về dạng bình phương của một biểu thức để áp dụng hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”.

Bước 1: Biến đổi các số hạng về dạng bình phương của một biểu thức.

Chúng ta nhận thấy rằng \(4 = 2^2\) và \(9 = 3^2\). Áp dụng quy tắc lũy thừa \((ab)^n = a^n b^n\) (hoặc \(a^n b^n = (ab)^n\)), ta có thể viết lại các số hạng như sau:

Đối với số hạng thứ nhất:

\[ 4(2x+7)^2 = 2^2 (2x+7)^2 = [2(2x+7)]^2 \]

Đối với số hạng thứ hai:

\[ 9(x+3)^2 = 3^2 (x+3)^2 = [3(x+3)]^2 \]

Vậy, phương trình ban đầu trở thành:

\[ [2(2x+7)]^2 – [3(x+3)]^2 = 0 \]

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Đây là bước then chốt để đơn giản hóa phương trình! Chúng ta nhận thấy phương trình đã có dạng \(A^2 – B^2 = 0\), với \(A = 2(2x+7)\) và \(B = 3(x+3)\).

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương phát biểu rằng:

\[ A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) \]

Giải thích: Việc áp dụng hằng đẳng thức này giúp chúng ta biến đổi một phương trình bậc hai (hoặc có khả năng trở thành bậc hai) thành dạng tích của các biểu thức bậc nhất. Khi một tích bằng 0, ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0, từ đó chúng ta có thể dễ dàng tìm được giá trị của x.

Áp dụng hằng đẳng thức này, ta có:

\[ [2(2x+7) – 3(x+3)][2(2x+7) + 3(x+3)] = 0 \]

Bước 3: Rút gọn các biểu thức trong dấu ngoặc vuông.

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện phép nhân phân phối và phép cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong mỗi dấu ngoặc vuông.

Đối với dấu ngoặc vuông thứ nhất: \([2(2x+7) – 3(x+3)]\)

\[ = (4x + 14) – (3x + 9) \]
\[ = 4x + 14 – 3x – 9 \]
\[ = (4x – 3x) + (14 – 9) \]
\[ = x + 5 \]

Đối với dấu ngoặc vuông thứ hai: \([2(2x+7) + 3(x+3)]\)

\[ = (4x + 14) + (3x + 9) \]
\[ = 4x + 14 + 3x + 9 \]
\[ = (4x + 3x) + (14 + 9) \]
\[ = 7x + 23 \]

Vậy, phương trình sau khi rút gọn trở thành:

\[ (x+5)(7x+23) = 0 \]

Bước 4: Giải các phương trình bậc nhất.

Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Đây là một nguyên tắc cơ bản trong giải phương trình. Do đó, chúng ta sẽ có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0.

\[ x + 5 = 0 \]

Chuyển số 5 sang vế phải và đổi dấu, ta được:

\[ x = -5 \]

Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0.

\[ 7x + 23 = 0 \]

Chuyển số 23 sang vế phải và đổi dấu:

\[ 7x = -23 \]

Để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 7:

\[ x = -\frac{23}{7} \]

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = -5\) và \(x = -\frac{23}{7}\).

Kết luận:

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ -5; -\frac{23}{7} \right\}\).

Các em thấy đấy, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách nhanh chóng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo hơn nhé!