Chào các em học sinh thân mến!
Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về dãy phân số. Đây là dạng bài mà các em sẽ gặp khá nhiều trong chương trình Toán lớp 6, đặc biệt là khi chúng ta áp dụng các phương pháp tư duy toán học.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính tổng A = 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 +…+ 1/95.97 + 1/97.99

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hiệu quả, đó là phân tích một phân số thành hiệu của hai phân số khác. Phương pháp này thường được áp dụng khi các mẫu số của phân số trong tổng có dạng tích của hai số hơn kém nhau một hằng số. Trong bài toán này, chúng ta thấy các mẫu số đều là tích của hai số tự nhiên lẻ hơn kém nhau 2 đơn vị (ví dụ: 1 và 3, 3 và 5, 5 và 7,…).

Chúng ta sẽ khai thác quy tắc sau đây:
Nếu ta có một phân số dạng 1/n(n+k), ta có thể phân tích nó thành:

\[ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \right) \]

Lý do áp dụng công thức này là bởi vì khi thực hiện phép trừ ở vế phải, ta sẽ quy đồng mẫu số:

\[ \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \right) = \frac{1}{k} \left( \frac{n+k}{n(n+k)} – \frac{n}{n(n+k)} \right) = \frac{1}{k} \left( \frac{n+k-n}{n(n+k)} \right) = \frac{1}{k} \left( \frac{k}{n(n+k)} \right) = \frac{1}{n(n+k)} \]

Và khi áp dụng vào bài toán của chúng ta, ta thấy rằng ở mỗi phân số, hiệu của hai thừa số ở mẫu là 2 (ví dụ: 3-1=2, 5-3=2, 7-5=2,…). Vậy nên, ta sẽ có k=2.

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào các bước giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích từng phân số trong tổng A
Áp dụng công thức với k=2 cho từng phân số:
1/1.3 = 1/2 * (1/1 – 1/3)
1/3.5 = 1/2 * (1/3 – 1/5)
1/5.7 = 1/2 * (1/5 – 1/7)
1/7.9 = 1/2 * (1/7 – 1/9)
…
1/95.97 = 1/2 * (1/95 – 1/97)
1/97.99 = 1/2 * (1/97 – 1/99)

Bước 2: Viết lại tổng A dưới dạng mới
Thay các biểu thức vừa phân tích vào tổng A:
A = [1/2 (1/1 – 1/3)] + [1/2 (1/3 – 1/5)] + [1/2 (1/5 – 1/7)] + [1/2 (1/7 – 1/9)] + … + [1/2 (1/95 – 1/97)] + [1/2 (1/97 – 1/99)]

Bước 3: Rút nhân tử chung và nhóm các số hạng
Ta thấy 1/2 là nhân tử chung của tất cả các số hạng. Ta rút 1/2 ra ngoài:
A = 1/2 * [(1/1 – 1/3) + (1/3 – 1/5) + (1/5 – 1/7) + (1/7 – 1/9) + … + (1/95 – 1/97) + (1/97 – 1/99)]

Bây giờ, các em hãy quan sát bên trong dấu ngoặc vuông. Chúng ta thấy có hiện tượng “triệt tiêu” các số hạng ở giữa. Số hạng -1/3 sẽ triệt tiêu với +1/3, -1/5 sẽ triệt tiêu với +1/5, và cứ thế tiếp tục cho đến hết.
Đây là điểm mấu chốt của phương pháp này, được gọi là phương pháp “cộng trừ đối ứng” hay “telescoping sum”.

Sau khi triệt tiêu, bên trong dấu ngoặc vuông chỉ còn lại hai số hạng đầu và cuối:
A = 1/2 * (1/1 – 1/99)

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng
Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép tính đơn giản:
A = 1/2 * (99/99 – 1/99)
A = 1/2 * (98/99)
A = 98 / (2 * 99)
A = 98 / 198

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, đó là 2.
A = (98 : 2) / (198 : 2)
A = 49 / 99

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán! Giá trị của A là 49/99.

Các em thấy đấy, chỉ cần áp dụng đúng phương pháp phân tích phân số, bài toán tưởng chừng phức tạp đã trở nên rất nhẹ nhàng. Hãy nhớ ghi nhớ phương pháp này để có thể áp dụng cho những bài toán tương tự nhé!

Cảm ơn các em đã chú ý lắng nghe! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!