Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính toán giá trị lượng giác khá thú vị. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố và vận dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học. Chúng ta sẽ giải bài toán tính A = cos 10°.cos 30°.cos 50°.cos 70°.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản và công thức biến đổi tích thành tổng.

Bước 1: Nhận dạng và khai thác đặc điểm của các góc
Quan sát các góc trong biểu thức A, chúng ta thấy có các góc 10°, 30°, 50°, 70°. Chúng ta biết giá trị của cos 30° là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Các góc còn lại có mối liên hệ đặc biệt với nhau. Cụ thể, chúng ta có thể nhóm các góc lại:
A = (cos 10°.cos 50°.cos 70°).cos 30°

Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Chúng ta sẽ tập trung vào nhóm (cos 10°.cos 50°.cos 70°). Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
\(\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x-y) + \cos(x+y)]\)

Hãy áp dụng công thức này cho hai số hạng đầu tiên trong nhóm: cos 10° và cos 50°.
cos 10° cos 50° = \(\frac{1}{2}[\cos(50° – 10°) + \cos(50° + 10°)]\)
= \(\frac{1}{2}[\cos 40° + \cos 60°]\)

Chúng ta biết \(\cos 60° = \frac{1}{2}\), vậy:
cos 10° cos 50° = \(\frac{1}{2}[\cos 40° + \frac{1}{2}]\)
= \(\frac{1}{2}\cos 40° + \frac{1}{4}\)

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả này với cos 70°:
(cos 10° cos 50°) cos 70° = \((\frac{1}{2}\cos 40° + \frac{1}{4})\cos 70°\)
= \(\frac{1}{2}\cos 40° \cos 70° + \frac{1}{4}\cos 70°\)

Tiếp tục áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(\cos 40° \cos 70°\):
\(\cos 40° \cos 70° = \frac{1}{2}[\cos(70° – 40°) + \cos(70° + 40°)]\)
= \(\frac{1}{2}[\cos 30° + \cos 110°]\)

Thay vào biểu thức trên:
\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}[\cos 30° + \cos 110°] + \frac{1}{4}\cos 70°\)
= \(\frac{1}{4}\cos 30° + \frac{1}{4}\cos 110° + \frac{1}{4}\cos 70°\)

Chúng ta biết \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), vậy:
= \(\frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}\cos 110° + \frac{1}{4}\cos 70°\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}(\cos 110° + \cos 70°)\)

Ở đây, chúng ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa cos 110° và cos 70°. Chúng ta biết rằng \(\cos(180° – x) = -\cos x\). Do đó, \(\cos 110° = \cos(180° – 70°) = -\cos 70°\).
Vậy, \(\cos 110° + \cos 70° = -\cos 70° + \cos 70° = 0\).

Do đó, nhóm (cos 10°.cos 50°.cos 70°) có giá trị bằng \(\frac{\sqrt{3}}{8}\).

Bước 3: Hoàn thành phép tính
Bây giờ, chúng ta quay trở lại với biểu thức A:
A = (cos 10°.cos 50°.cos 70°).cos 30°
A = \(\frac{\sqrt{3}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
A = \(\frac{3}{16}\)

Một cách tiếp cận khác sử dụng công thức nhân đôi:
Chúng ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng công thức nhân đôi và biến đổi góc.

A = cos 10°.cos 30°.cos 50°.cos 70°
A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . cos 10°.cos 50°.cos 70°

Chúng ta sẽ nhân và chia cho \(2 \sin 10°\) để tạo ra các công thức liên quan đến \(\sin 2x\).
A = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2 \sin 10°} (2 \sin 10° \cos 10°)\).cos 50°.cos 70°
A = \(\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 10°} (\sin 20°)\).cos 50°.cos 70°

Bây giờ, chúng ta nhân và chia cho 2 để tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
A = \(\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 10°} \times \frac{1}{2} (2 \sin 20° \cos 50°)\).cos 70°
Chúng ta sử dụng công thức biến đổi tích thành hiệu: \(2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)\).
\(2 \sin 20° \cos 50° = \sin(20°+50°) + \sin(20°-50°) = \sin 70° + \sin(-30°)\)
= \(\sin 70° – \sin 30° = \sin 70° – \frac{1}{2}\).

Thay vào biểu thức A:
A = \(\frac{\sqrt{3}}{8 \sin 10°} (\sin 70° – \frac{1}{2})\)
A = \(\frac{\sqrt{3}}{8 \sin 10°} \sin 70° – \frac{\sqrt{3}}{16 \sin 10°}\)

Chúng ta biết \(\sin 70° = \cos(90°-70°) = \cos 20°\).
A = \(\frac{\sqrt{3}}{8 \sin 10°} \cos 20° – \frac{\sqrt{3}}{16 \sin 10°}\)

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos x \sin y = \frac{1}{2}[\sin(y+x) – \sin(y-x)]\). Ở đây, ta có \(\cos 20° \sin 70°\). Chúng ta có thể viết lại thành \(\sin 70° \cos 20°\).
Hoặc, ta có thể biến đổi \(\cos 20° = 2 \sin 10° \cos 10°\).
A = \(\frac{\sqrt{3}}{8 \sin 10°} (2 \sin 10° \cos 10°) – \frac{\sqrt{3}}{16 \sin 10°}\)
A = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cos 10° – \frac{\sqrt{3}}{16 \sin 10°}\)

Hmm, cách này có vẻ phức tạp hơn và có vẻ có sai sót trong quá trình biến đổi. Chúng ta sẽ quay lại cách đầu tiên vì nó rõ ràng và dễ kiểm soát hơn.

Kiểm tra lại cách 1:
A = cos 10°.cos 30°.cos 50°.cos 70°
A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . cos 10°.cos 50°.cos 70°
cos 10° cos 50° = \(\frac{1}{2}(\cos 40° + \cos 60°) = \frac{1}{2}(\cos 40° + \frac{1}{2})\)
cos 10° cos 50° cos 70° = \(\frac{1}{2}(\cos 40° + \frac{1}{2}) \cos 70°\)
= \(\frac{1}{2}\cos 40° \cos 70° + \frac{1}{4}\cos 70°\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\cos 30° + \cos 110°) + \frac{1}{4}\cos 70°\)
= \(\frac{1}{4}\cos 30° + \frac{1}{4}\cos 110° + \frac{1}{4}\cos 70°\)
= \(\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}(\cos 110° + \cos 70°)\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}(-\cos 70° + \cos 70°)\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{8}\)

Vậy A = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}\).

Như vậy, giá trị của A là \(\frac{3}{16}\).

Tóm lại các bước thực hiện:

• Bước 1: Thay giá trị cos 30° và nhóm các thừa số còn lại.
• Bước 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để tính tích của các cos còn lại.
• Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu để tính giá trị cuối cùng.

Các em thấy đó, việc nắm vững các công thức lượng giác là chìa khóa để giải quyết các bài toán tính toán như thế này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!
Chúc các em học tốt!