Chào các em học sinh lớp 6 thân mến! Cô là [Tên giáo viên], giáo viên môn Toán. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính tổng khá thú vị. Bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta nắm vững một vài kỹ thuật nhỏ thì sẽ giải quyết được ngay.

Chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức sau:
C = 1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + … + 1/(98.99.100)

Đây là một dạng bài toán tính tổng chuỗi. Để giải quyết dạng bài này, chúng ta thường tìm cách “tách” mỗi số hạng trong tổng thành hiệu của hai số hạng. Phương pháp này được gọi là “phương pháp tách số hạng” hoặc “khai triển telescop”.

Bước 1: Tìm quy luật và công thức tổng quát cho mỗi số hạng
Các số hạng trong tổng có dạng: 1/(n(n+1)(n+2)), với n lần lượt nhận các giá trị từ 1 đến 98.

Bước 2: Áp dụng phương pháp tách số hạng
Chúng ta sẽ sử dụng công thức sau để tách mỗi số hạng:

\( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \)

Giải thích lý do áp dụng công thức này: Công thức này giúp chúng ta biến đổi tích ở mẫu thành hiệu của hai phân số. Khi các phân số này cộng lại với nhau, nhiều số hạng sẽ bị triệt tiêu, làm cho việc tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Để chứng minh công thức này, ta quy đồng vế phải:

1/2 [(n+2) – n] / [n(n+1)(n+2)] = 1/2 [2] / [n(n+1)(n+2)] = 1/[n(n+1)(n.2)] \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho từng số hạng của tổng C:

Với số hạng đầu tiên (n=1): \( \frac{1}{1.2.3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1.2} – \frac{1}{2.3} \right) \)

Với số hạng thứ hai (n=2): \( \frac{1}{2.3.4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2.3} – \frac{1}{3.4} \right) \)

Với số hạng thứ ba (n=3): \( \frac{1}{3.4.5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3.4} – \frac{1}{4.5} \right) \)

…

Với số hạng cuối cùng (n=98): \( \frac{1}{98.99.100} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{98.99} – \frac{1}{99.100} \right) \)

Bước 3: Cộng các số hạng đã tách
Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các số hạng đã tách lại:

C = \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1.2} – \frac{1}{2.3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2.3} – \frac{1}{3.4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3.4} – \frac{1}{4.5} \right) + … + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{98.99} – \frac{1}{99.100} \right) \)

Chúng ta có thể nhóm các số hạng lại và đặt \( \frac{1}{2} \) ra ngoài:

C = \( \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1.2} – \frac{1}{2.3} \right) + \left( \frac{1}{2.3} – \frac{1}{3.4} \right) + \left( \frac{1}{3.4} – \frac{1}{4.5} \right) + … + \left( \frac{1}{98.99} – \frac{1}{99.100} \right) \right] \)

Bây giờ, các em quan sát kỹ trong dấu ngoặc vuông. Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

\( -\frac{1}{2.3} \) triệt tiêu với \( +\frac{1}{2.3} \)

\( -\frac{1}{3.4} \) triệt tiêu với \( +\frac{1}{3.4} \)

…

Quá trình này tiếp diễn cho đến khi chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng.

C = \( \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1.2} – \frac{1}{99.100} \right] \)

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng

C = \( \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} – \frac{1}{9900} \right] \)

Để trừ hai phân số trong ngoặc, chúng ta quy đồng mẫu số:

\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 4950}{2 \times 4950} = \frac{4950}{9900} \)

Vậy,

C = \( \frac{1}{2} \left[ \frac{4950}{9900} – \frac{1}{9900} \right] \)

C = \( \frac{1}{2} \left[ \frac{4950 – 1}{9900} \right] \)

C = \( \frac{1}{2} \left[ \frac{4949}{9900} \right] \)

C = \( \frac{4949}{2 \times 9900} \)

C = \( \frac{4949}{19800} \)

Vậy, giá trị của biểu thức C là 4949/19800.

Các em thấy đó, mặc dù bài toán nhìn ban đầu có vẻ khó nhằn, nhưng bằng cách áp dụng phương pháp tách số hạng một cách hợp lý, chúng ta đã có thể giải quyết nó một cách dễ dàng. Hãy nhớ rằng, trong toán học, việc tìm ra phương pháp đúng là chìa khóa để giải quyết vấn đề.

Chúc các em học tốt!