Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em ôn tập và giải chi tiết các bài toán giới hạn dãy số, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán 11. Các bài tập này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về các phương pháp tính giới hạn, đặc biệt là với các tổng và tích có quy luật.

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải từng bài một nhé!

— LỜI GIẢI CHI TIẾT —

a) Tính giới hạn: \(\lim \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+2)} \right)\)

Để tính giới hạn này, chúng ta cần tìm công thức tổng quát của tổng trước, sau đó mới tính giới hạn.

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát của tổng.

Số hạng tổng quát của tổng là \(u_k = \frac{1}{k(k+2)}\).

Bước 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành hiệu (phương pháp sai phân) để tìm công thức tổng.

Chúng ta có thể viết lại số hạng \(u_k\) như sau:

\[ \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+2} \right) \]

Giải thích: Đây là một kỹ thuật thường dùng khi gặp các phân số có mẫu là tích của hai số liên tiếp hoặc cách nhau một khoảng cố định. Bằng cách này, khi cộng dồn các số hạng lại, sẽ có rất nhiều số triệt tiêu nhau (phép khử liên tiếp hay còn gọi là tổng kiểu “telescoping”).

Bước 3: Viết tổng \(S_n\) dưới dạng hiệu của các số hạng.

Gọi \(S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}\).

Áp dụng công thức ở Bước 2 cho từng số hạng, ta có:

\[ S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \]

Để dễ nhìn thấy sự triệt tiêu, ta nhóm thừa số chung \(\frac{1}{2}\) ra ngoài:

\[ S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \right] \]

Quan sát các số hạng bên trong ngoặc vuông, chúng ta thấy:

• Số hạng \(-\frac{1}{3}\) sẽ triệt tiêu với số hạng \(+\frac{1}{3}\) của số hạng thứ ba.
• Số hạng \(-\frac{1}{4}\) sẽ triệt tiêu với số hạng \(+\frac{1}{4}\) của số hạng thứ tư (nếu có).
• Cứ như vậy, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Các số hạng còn lại sau khi triệt tiêu là:

\[ S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right] \]

Giải thích: Trong phương pháp sai phân này, chỉ có một vài số hạng đầu và một vài số hạng cuối còn lại sau khi cộng dồn. Cụ thể ở đây, \(\frac{1}{k}\) và \(-\frac{1}{k+2}\) cách nhau 2 đơn vị. Do đó, các số \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}\) đều bị triệt tiêu.

Bước 4: Tính giới hạn của \(S_n\) khi \(n \to \infty\).

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right] \]

Vì \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0\) và \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0\) (giới hạn của các dãy có dạng \(\frac{1}{\text{đa thức bậc 1}}\) khi \(n \to \infty\) bằng 0).

Do đó:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} – 0 – 0 \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} \right] = \frac{3}{4} \]

Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là \(\frac{3}{4}\).

b) Tính giới hạn: \(\lim \left( 1 – \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 – \frac{1}{3^2} \right) \dots \left( 1 – \frac{1}{n^2} \right)\)

Tương tự như câu a), chúng ta cần tìm công thức tổng quát của tích trước, sau đó mới tính giới hạn.

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát của tích.

Số hạng tổng quát của tích là \(u_k = 1 – \frac{1}{k^2}\).

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn số hạng tổng quát.

Chúng ta có thể viết lại số hạng \(u_k\) như sau:

\[ u_k = 1 – \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 – 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k \cdot k} \]

Giải thích: Việc sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) giúp chúng ta tách mẫu số và tử số thành các nhân tử, tạo điều kiện cho việc triệt tiêu khi nhân các số hạng lại với nhau (phép khử liên tiếp hay còn gọi là tích kiểu “telescoping”).

Bước 3: Viết tích \(P_n\) dưới dạng đã rút gọn và tìm sự triệt tiêu.

Gọi \(P_n = \left( 1 – \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 – \frac{1}{3^2} \right) \dots \left( 1 – \frac{1}{n^2} \right)\).

Áp dụng công thức ở Bước 2 cho từng số hạng, ta có:

\[ P_n = \frac{(2-1)(2+1)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3 \cdot 3} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4 \cdot 4} \cdot \dots \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n} \]

Viết rõ hơn:

\[ P_n = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n} \]

Để dễ nhìn thấy sự triệt tiêu, ta có thể sắp xếp lại các nhân tử:

\[ P_n = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{n} \right) \]

Quan sát các tích bên trong ngoặc:

• Trong ngoặc thứ nhất: các số hạng ở tử số của phân số này triệt tiêu với mẫu số của phân số kế tiếp. Chẳng hạn, số 2 ở tử của \(\frac{2}{3}\) triệt tiêu với số 2 ở mẫu của \(\frac{1}{2}\). Kết quả còn lại là \(\frac{1}{n}\).
• Trong ngoặc thứ hai: tương tự, các số hạng ở mẫu số của phân số này triệt tiêu với tử số của phân số kế tiếp. Chẳng hạn, số 3 ở mẫu của \(\frac{3}{2}\) triệt tiêu với số 3 ở tử của \(\frac{4}{3}\). Kết quả còn lại là \(\frac{n+1}{2}\).

Vậy, sau khi triệt tiêu, ta còn lại:

\[ P_n = \left( \frac{1}{n} \right) \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) = \frac{n+1}{2n} \]

Bước 4: Tính giới hạn của \(P_n\) khi \(n \to \infty\).

\[ \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} \]

Để tính giới hạn của một phân thức đại số khi \(n \to \infty\), ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) trong mẫu số (ở đây là \(n\)).

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} \]

Vì \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).

Do đó:

\[ \lim_{n \to \infty} P_n = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} \]

Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là \(\frac{1}{2}\).

c) Tính giới hạn: \(\lim \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right)\)

Đây là một bài toán tương tự câu a), cũng sử dụng phương pháp sai phân.

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát của tổng.

Số hạng tổng quát của tổng là \(u_k = \frac{1}{k(k+1)}\).

Bước 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành hiệu.

Chúng ta có thể viết lại số hạng \(u_k\) như sau:

\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \]

Giải thích: Đây là một dạng đặc biệt của phân tích sai phân khi hai nhân tử ở mẫu số là hai số nguyên liên tiếp.

Bước 3: Viết tổng \(S_n\) dưới dạng hiệu của các số hạng.

Gọi \(S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}\).

Áp dụng công thức ở Bước 2 cho từng số hạng, ta có:

\[ S_n = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]

Quan sát các số hạng, chúng ta thấy sự triệt tiêu liên tiếp:

\[ S_n = \frac{1}{1} – \cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} – \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} – \cancel{\frac{1}{4}} + \dots + \cancel{\frac{1}{n}} – \frac{1}{n+1} \]

Các số hạng còn lại sau khi triệt tiêu là:

\[ S_n = 1 – \frac{1}{n+1} \]

Bước 4: Tính giới hạn của \(S_n\) khi \(n \to \infty\).

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \]

Vì \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0\).

Do đó:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 – 0 = 1 \]

Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là \(1\).

d) Tính giới hạn: \(\lim \frac{1+2+…+n}{n^2+3n}\)

Đây là giới hạn của một phân thức mà tử số là tổng của một cấp số cộng.

Bước 1: Rút gọn tử số.

Tử số là tổng của \(n\) số tự nhiên đầu tiên: \(1+2+…+n\).

Giải thích: Đây là công thức tổng của cấp số cộng có số hạng đầu là 1, số hạng cuối là \(n\) và có \(n\) số hạng. Công thức là \(\frac{\text{số số hạng} \times (\text{số hạng đầu} + \text{số hạng cuối})}{2}\).

\[ 1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Bước 2: Thay thế vào biểu thức giới hạn và rút gọn.

Biểu thức trở thành:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+3n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+6n} \]

Bước 3: Tính giới hạn của phân thức đại số.

Giải thích: Đối với giới hạn của một phân thức mà tử và mẫu đều là các đa thức của \(n\), khi \(n \to \infty\), ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) trong mẫu số. Ở đây, bậc cao nhất là \(n^2\).

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+6n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{6}{n}} \]

Vì \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\) và \(\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n} = 0\).

Do đó:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{6}{n}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2} \]

Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là \(\frac{1}{2}\).

e) Tính giới hạn: \(\lim \frac{1+2+2^2+…+2^n}{1+3+3^2+…+3^n}\)

Đây là giới hạn của một phân thức mà tử số và mẫu số đều là tổng của một cấp số nhân.

Bước 1: Rút gọn tử số và mẫu số.

Giải thích: Công thức tổng của \(n+1\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\), công bội \(q\) là \(S_{n+1} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\).

• Tử số: \(1+2+2^2+…+2^n\) là tổng của một cấp số nhân có số hạng đầu \(a=1\) và công bội \(q=2\).
  
  \[ 1+2+2^2+…+2^n = \frac{1 \cdot (2^{n+1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-1 \]
• Mẫu số: \(1+3+3^2+…+3^n\) là tổng của một cấp số nhân có số hạng đầu \(a=1\) và công bội \(q=3\).
  
  \[ 1+3+3^2+…+3^n = \frac{1 \cdot (3^{n+1}-1)}{3-1} = \frac{3^{n+1}-1}{2} \]

Bước 2: Thay thế vào biểu thức giới hạn và rút gọn.

Biểu thức trở thành:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}-1}{\frac{3^{n+1}-1}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1}-1)}{3^{n+1}-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2}-2}{3^{n+1}-1} \]

Bước 3: Tính giới hạn của phân thức chứa lũy thừa.

Giải thích: Đối với giới hạn của phân thức mà tử và mẫu chứa các lũy thừa của các số, khi \(n \to \infty\), ta chia cả tử và mẫu cho cơ số có lũy thừa bậc cao nhất (hoặc cơ số lớn nhất). Ở đây, cơ số lớn nhất là 3 với lũy thừa \(3^{n+1}\).

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2}-2}{3^{n+1}-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} – \frac{2}{3^{n+1}}}{\frac{3^{n+1}}{3^{n+1}} – \frac{1}{3^{n+1}}} \]

Ta có thể viết lại \(\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}}\) như sau:

\[ \frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} = \frac{2^2 \cdot 2^n}{3 \cdot 3^n} = \frac{4}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n \]

Vậy biểu thức giới hạn trở thành:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n – \frac{2}{3^{n+1}}}{1 – \frac{1}{3^{n+1}}} \]

Giải thích: Chúng ta biết rằng \(\lim_{n \to \infty} q^n = 0\) nếu \(|q| < 1\).

• Vì \(|\frac{2}{3}| < 1\), nên \(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{3} \right)^n = 0\).
• Vì \(|\frac{1}{3}| < 1\), nên \(\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1} = 0\).
• Tương tự, \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1} = 0\).

Thay các giới hạn này vào biểu thức:

\[ \frac{\frac{4}{3} \cdot 0 – 0}{1 – 0} = \frac{0}{1} = 0 \]

Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là \(0\).

Các em thấy đấy, việc giải các bài toán giới hạn không chỉ đòi hỏi chúng ta nắm vững các công thức mà còn cần có kỹ năng biến đổi biểu thức một cách linh hoạt. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này nhé!