Chào các em học sinh yêu quý của lớp 7! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài toán tính giá trị của biểu thức hôm nay. Đây là một bài toán khá thú vị, đòi hỏi chúng ta phải suy luận và áp dụng một số kiến thức đã học. Các em hãy cùng cô đi từng bước nhé!

Trước hết, chúng ta cần quan sát kỹ biểu thức A.
A = \(\frac{(1^{4} + \frac{1}{4})(3^{4} + \frac{1}{4})(5^{4} + \frac{1}{4})…(29^{4} + \frac{1}{4})}{(2^{4} + \frac{1}{4})(4^{4} + \frac{1}{4})(6^{4} + \frac{1}{4})…(30^{4} + \frac{1}{4})}\)

Các em thấy rằng, ở tử số là tích của các số có dạng \(n^4 + \frac{1}{4}\) với n là các số lẻ từ 1 đến 29.
Còn ở mẫu số là tích của các số có dạng \(n^4 + \frac{1}{4}\) với n là các số chẵn từ 2 đến 30.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm cách rút gọn từng thừa số trong biểu thức.
Cô trò mình sẽ tập trung vào việc biến đổi thừa số có dạng \(n^4 + \frac{1}{4}\).

Ta có:
\(n^4 + \frac{1}{4} = n^4 + \frac{1}{4} + n^2 – n^2\) (Đây là kỹ thuật thêm bớt, các em nhớ nhé!)
\(= (n^4 + n^2 + \frac{1}{4}) – n^2\)
\(= (n^2 + \frac{1}{2})^2 – n^2\) (Nhận dạng đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\))
\(= (n^2 + \frac{1}{2} – n)(n^2 + \frac{1}{2} + n)\) (Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\))

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại các thừa số ở tử và mẫu theo dạng mới này.

Xét các thừa số ở tử số có dạng \(n^4 + \frac{1}{4}\) với \(n = 1, 3, 5, …, 29\).
Ta có:
\(n^2 + \frac{1}{2} – n = n^2 – n + \frac{1}{2}\)
\(n^2 + \frac{1}{2} + n = n^2 + n + \frac{1}{2}\)

Vậy \(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\).

Bây giờ, chúng ta hãy thử thay các giá trị lẻ của n vào biểu thức này:
Với \(n=1\): \(1^4 + \frac{1}{4} = (1^2 – 1 + \frac{1}{2})(1^2 + 1 + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})(\frac{5}{2})\)
Với \(n=3\): \(3^4 + \frac{1}{4} = (3^2 – 3 + \frac{1}{2})(3^2 + 3 + \frac{1}{2}) = (9 – 3 + \frac{1}{2})(9 + 3 + \frac{1}{2}) = (\frac{13}{2})(\frac{25}{2})\)
Với \(n=5\): \(5^4 + \frac{1}{4} = (5^2 – 5 + \frac{1}{2})(5^2 + 5 + \frac{1}{2}) = (25 – 5 + \frac{1}{2})(25 + 5 + \frac{1}{2}) = (\frac{41}{2})(\frac{61}{2})\)
…
Với \(n=29\): \(29^4 + \frac{1}{4} = (29^2 – 29 + \frac{1}{2})(29^2 + 29 + \frac{1}{2})\)

Tuy nhiên, nhìn vào các kết quả trên, chúng ta thấy có một vấn đề. Việc thay trực tiếp các giá trị lẻ vào biểu thức \((n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\) không tạo ra sự “lệch nhau” để rút gọn dễ dàng.
Chúng ta cần biến đổi biểu thức \(n^2 – n + \frac{1}{2}\) và \(n^2 + n + \frac{1}{2}\) một chút nữa.

Các em hãy thử viết lại:
\(n^2 – n + \frac{1}{2} = \frac{2n^2 – 2n + 1}{2}\)
\(n^2 + n + \frac{1}{2} = \frac{2n^2 + 2n + 1}{2}\)

Nhưng cách này cũng chưa tối ưu. Hãy quay lại \(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 + \frac{1}{2})^2 – n^2\).
Ta có thể viết lại \(n^2 + \frac{1}{2}\) thành \(\frac{2n^2 + 1}{2}\).
Vậy \(n^4 + \frac{1}{4} = (\frac{2n^2 + 1}{2})^2 – n^2\).

Hãy xét lại biểu thức tổng quát của chúng ta:
\(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\)
Chúng ta có thể biến đổi các thừa số này như sau:
\(n^2 – n + \frac{1}{2} = \frac{2n^2 – 2n + 1}{2}\)
\(n^2 + n + \frac{1}{2} = \frac{2n^2 + 2n + 1}{2}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm cách làm cho các thừa số này “khớp” với nhau.
Hãy thử thay n bằng các số liên tiếp.

Xét thừa số ở dạng \((n – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\)
\(n^4 + \frac{1}{4}\).
Chúng ta hãy thử nhóm các số lại theo một cách khác.
\(n^4 + \frac{1}{4} = n^4 + n^2 + \frac{1}{4} – n^2 = (n^2 + \frac{1}{2})^2 – n^2 = (n^2 + \frac{1}{2} – n)(n^2 + \frac{1}{2} + n)\)
\(= (n(n-1) + \frac{1}{2})(n(n+1) + \frac{1}{2})\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng cho các số lẻ ở tử và các số chẵn ở mẫu.

Tử số: Với \(n = 1, 3, 5, …, 29\)
\(1^4 + \frac{1}{4} = (1^2 + \frac{1}{2} – 1)(1^2 + \frac{1}{2} + 1) = (\frac{1}{2})(\frac{5}{2})\)
\(3^4 + \frac{1}{4} = (3^2 + \frac{1}{2} – 3)(3^2 + \frac{1}{2} + 3) = (9 – 3 + \frac{1}{2})(9 + 3 + \frac{1}{2}) = (\frac{13}{2})(\frac{25}{2})\)
\(5^4 + \frac{1}{4} = (5^2 + \frac{1}{2} – 5)(5^2 + \frac{1}{2} + 5) = (25 – 5 + \frac{1}{2})(25 + 5 + \frac{1}{2}) = (\frac{41}{2})(\frac{61}{2})\)
…
\(29^4 + \frac{1}{4} = (29^2 + \frac{1}{2} – 29)(29^2 + \frac{1}{2} + 29)\)

Mẫu số: Với \(n = 2, 4, 6, …, 30\)
\(2^4 + \frac{1}{4} = (2^2 + \frac{1}{2} – 2)(2^2 + \frac{1}{2} + 2) = (4 – 2 + \frac{1}{2})(4 + 2 + \frac{1}{2}) = (\frac{5}{2})(\frac{13}{2})\)
\(4^4 + \frac{1}{4} = (4^2 + \frac{1}{2} – 4)(4^2 + \frac{1}{2} + 4) = (16 – 4 + \frac{1}{2})(16 + 4 + \frac{1}{2}) = (\frac{25}{2})(\frac{41}{2})\)
\(6^4 + \frac{1}{4} = (6^2 + \frac{1}{2} – 6)(6^2 + \frac{1}{2} + 6) = (36 – 6 + \frac{1}{2})(36 + 6 + \frac{1}{2}) = (\frac{61}{2})(\frac{73}{2})\)
…
\(30^4 + \frac{1}{4} = (30^2 + \frac{1}{2} – 30)(30^2 + \frac{1}{2} + 30)\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét kỹ các thừa số.
\(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\)
Ta nhận thấy:
\((n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2} = n^2 + 2n + 1 – n – 1 + \frac{1}{2} = n^2 + n + \frac{1}{2}\)
Và
\((n-1)^2 + (n-1) + \frac{1}{2} = n^2 – 2n + 1 + n – 1 + \frac{1}{2} = n^2 – n + \frac{1}{2}\)

Điều này gợi ý chúng ta nên xem xét các thừa số có dạng \(k^2 + k + \frac{1}{2}\) và \(k^2 – k + \frac{1}{2}\).

Hãy viết lại biểu thức của chúng ta như sau:
Tử số có các thừa số \(1^4 + \frac{1}{4}, 3^4 + \frac{1}{4}, 5^4 + \frac{1}{4}, …, 29^4 + \frac{1}{4}\)
Mẫu số có các thừa số \(2^4 + \frac{1}{4}, 4^4 + \frac{1}{4}, 6^4 + \frac{1}{4}, …, 30^4 + \frac{1}{4}\)

Ta có \(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\).

Hãy xét các thừa số ở tử số.
Khi \(n=1\): \(1^4 + \frac{1}{4} = (1^2 – 1 + \frac{1}{2})(1^2 + 1 + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})(\frac{5}{2})\)
Khi \(n=3\): \(3^4 + \frac{1}{4} = (3^2 – 3 + \frac{1}{2})(3^2 + 3 + \frac{1}{2}) = (\frac{13}{2})(\frac{25}{2})\)
Khi \(n=5\): \(5^4 + \frac{1}{4} = (5^2 – 5 + \frac{1}{2})(5^2 + 5 + \frac{1}{2}) = (\frac{41}{2})(\frac{61}{2})\)
…
Khi \(n=29\): \(29^4 + \frac{1}{4} = (29^2 – 29 + \frac{1}{2})(29^2 + 29 + \frac{1}{2})\)

Hãy xét các thừa số ở mẫu số.
Khi \(n=2\): \(2^4 + \frac{1}{4} = (2^2 – 2 + \frac{1}{2})(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) = (\frac{5}{2})(\frac{13}{2})\)
Khi \(n=4\): \(4^4 + \frac{1}{4} = (4^2 – 4 + \frac{1}{2})(4^2 + 4 + \frac{1}{2}) = (\frac{25}{2})(\frac{41}{2})\)
Khi \(n=6\): \(6^4 + \frac{1}{4} = (6^2 – 6 + \frac{1}{2})(6^2 + 6 + \frac{1}{2}) = (\frac{61}{2})(\frac{73}{2})\)
…
Khi \(n=30\): \(30^4 + \frac{1}{4} = (30^2 – 30 + \frac{1}{2})(30^2 + 30 + \frac{1}{2})\)

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại biểu thức A bằng cách thay thế từng thừa số:
Tử số là tích của \((n^2 – n + \frac{1}{2})\) và \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) với \(n = 1, 3, 5, …, 29\).
Mẫu số là tích của \((n^2 – n + \frac{1}{2})\) và \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) với \(n = 2, 4, 6, …, 30\).

Hãy để ý một chút.
Với \(n=1\), ta có \(1^2 – 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) và \(1^2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
Với \(n=2\), ta có \(2^2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) và \(2^2 + 2 + \frac{1}{2} = \frac{13}{2}\).
Ta thấy thừa số \(\frac{5}{2}\) ở \(1^4 + \frac{1}{4}\) (là \(1^2+1+\frac{1}{2}\)) xuất hiện ở \(2^4 + \frac{1}{4}\) (là \(2^2-2+\frac{1}{2}\)).

Cụ thể hơn, ta xét thừa số thứ hai của \(n^4 + \frac{1}{4}\) là \(n^2 + n + \frac{1}{2}\).
Và thừa số thứ nhất của \((n+1)^4 + \frac{1}{4}\) là \((n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2} = n^2 + 2n + 1 – n – 1 + \frac{1}{2} = n^2 + n + \frac{1}{2}\).

Vì vậy, ta có:
Thừa số \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) ở tử số khi \(n\) là số lẻ.
Thừa số \((m^2 – m + \frac{1}{2})\) ở mẫu số khi \(m\) là số chẵn.
Nếu ta đặt \(m = n+1\), thì \(m\) là số chẵn khi \(n\) là số lẻ.
Khi đó, \(m^2 – m + \frac{1}{2} = (n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2} = n^2 + 2n + 1 – n – 1 + \frac{1}{2} = n^2 + n + \frac{1}{2}\).

Do đó, các thừa số \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) ở tử số sẽ lần lượt triệt tiêu với các thừa số \((m^2 – m + \frac{1}{2})\) ở mẫu số khi \(m = n+1\).

Hãy viết lại biểu thức A:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2})(1^2 + 1 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 – 3 + \frac{1}{2})(3^2 + 3 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2 – 29 + \frac{1}{2})(29^2 + 29 + \frac{1}{2})}{(2^2 – 2 + \frac{1}{2})(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 – 4 + \frac{1}{2})(4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 – 30 + \frac{1}{2})(30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Tử số = \(\prod_{k=1}^{15} ((2k-1)^2 – (2k-1) + \frac{1}{2})((2k-1)^2 + (2k-1) + \frac{1}{2})\)
Mẫu số = \(\prod_{k=1}^{15} ((2k)^2 – (2k) + \frac{1}{2})((2k)^2 + (2k) + \frac{1}{2})\)

Ta có:
\((2k-1)^2 + (2k-1) + \frac{1}{2} = 4k^2 – 4k + 1 + 2k – 1 + \frac{1}{2} = 4k^2 – 2k + \frac{1}{2}\)
\((2k)^2 – (2k) + \frac{1}{2} = 4k^2 – 2k + \frac{1}{2}\)

Vậy, các thừa số có dạng \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) ở tử số khi n là số lẻ, và các thừa số có dạng \((m^2 – m + \frac{1}{2})\) ở mẫu số khi m là số chẵn sẽ triệt tiêu nhau.

Cụ thể:
Thừa số \((1^2 + 1 + \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}\) ở \(1^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((2^2 – 2 + \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}\) ở \(2^4 + \frac{1}{4}\).
Thừa số \((3^2 + 3 + \frac{1}{2}) = \frac{25}{2}\) ở \(3^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((4^2 – 4 + \frac{1}{2}) = \frac{25}{2}\) ở \(4^4 + \frac{1}{4}\).
…
Thừa số \((29^2 + 29 + \frac{1}{2})\) ở \(29^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((30^2 – 30 + \frac{1}{2})\) ở \(30^4 + \frac{1}{4}\).

Sau khi rút gọn, biểu thức A sẽ còn lại:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 – 3 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2 – 29 + \frac{1}{2})}{(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Chỗ này cô đã bị nhầm lẫn trong việc gán thừa số. Hãy xem lại cách triệt tiêu:
Ta có \(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\).

Tử số:
\(1^4 + \frac{1}{4} = (1^2 – 1 + \frac{1}{2})(1^2 + 1 + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})(\frac{5}{2})\)
\(3^4 + \frac{1}{4} = (3^2 – 3 + \frac{1}{2})(3^2 + 3 + \frac{1}{2}) = (\frac{13}{2})(\frac{25}{2})\)
…
\(29^4 + \frac{1}{4} = (29^2 – 29 + \frac{1}{2})(29^2 + 29 + \frac{1}{2})\)

Mẫu số:
\(2^4 + \frac{1}{4} = (2^2 – 2 + \frac{1}{2})(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) = (\frac{5}{2})(\frac{13}{2})\)
\(4^4 + \frac{1}{4} = (4^2 – 4 + \frac{1}{2})(4^2 + 4 + \frac{1}{2}) = (\frac{25}{2})(\frac{41}{2})\)
…
\(30^4 + \frac{1}{4} = (30^2 – 30 + \frac{1}{2})(30^2 + 30 + \frac{1}{2})\)

Bây giờ, chúng ta hãy viết lại biểu thức A và quan sát sự triệt tiêu:
A = \(\frac{[(\frac{1}{2})(\frac{5}{2})] \cdot [(\frac{13}{2})(\frac{25}{2})] \cdot …}{[(\frac{5}{2})(\frac{13}{2})] \cdot [(\frac{25}{2})(\frac{41}{2})] \cdot …}\)

Ta thấy rằng, thừa số \(\frac{5}{2}\) ở tử số của \(1^4+\frac{1}{4}\) sẽ triệt tiêu với thừa số \(\frac{5}{2}\) ở mẫu số của \(2^4+\frac{1}{4}\).
Thừa số \(\frac{25}{2}\) ở tử số của \(3^4+\frac{1}{4}\) sẽ triệt tiêu với thừa số \(\frac{25}{2}\) ở mẫu số của \(4^4+\frac{1}{4}\).
Và cứ tiếp tục như vậy.

Cụ thể hơn, ta xét thừa số \(n^2 + n + \frac{1}{2}\) khi n là số lẻ, và thừa số \((n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2}\) khi \(n+1\) là số chẵn.
Ta có \((n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2} = n^2 + 2n + 1 – n – 1 + \frac{1}{2} = n^2 + n + \frac{1}{2}\).
Như vậy, thừa số \(n^2 + n + \frac{1}{2}\) ở tử số sẽ triệt tiêu với thừa số \((n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2}\) ở mẫu số.

Sau khi rút gọn, biểu thức A sẽ còn lại:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2})}{(30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Có vẻ cô lại nhầm. Hãy xem lại cách sắp xếp:
Tử số: \((1^2 – 1 + \frac{1}{2}) \cdot (1^2 + 1 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 – 3 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 + 3 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2 – 29 + \frac{1}{2}) \cdot (29^2 + 29 + \frac{1}{2})\)
Mẫu số: \((2^2 – 2 + \frac{1}{2}) \cdot (2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 – 4 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 – 30 + \frac{1}{2}) \cdot (30^2 + 30 + \frac{1}{2})\)

Ta thấy:
\(1^2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
\(2^2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

\(3^2 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)
\(4^2 – 4 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)

…

\(29^2 + 29 + \frac{1}{2}\)
\(30^2 – 30 + \frac{1}{2}\)

Các thừa số ở tử số có dạng \(n^2 + n + \frac{1}{2}\) với n lẻ sẽ triệt tiêu với các thừa số có dạng \(m^2 – m + \frac{1}{2}\) ở mẫu số với m chẵn, khi \(m = n+1\).

Sau khi triệt tiêu, ta còn lại:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 – 3 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2 – 29 + \frac{1}{2})}{(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Chỗ này cô lại gán sai. Hãy nhìn lại biểu thức gốc và cách biến đổi:
\(n^4 + \frac{1}{4} = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\)

Tử số = \((1^2-1+\frac{1}{2})(1^2+1+\frac{1}{2}) \cdot (3^2-3+\frac{1}{2})(3^2+3+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2-29+\frac{1}{2})(29^2+29+\frac{1}{2})\)
Mẫu số = \((2^2-2+\frac{1}{2})(2^2+2+\frac{1}{2}) \cdot (4^2-4+\frac{1}{2})(4^2+4+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2-30+\frac{1}{2})(30^2+30+\frac{1}{2})\)

Ta thấy:
Thừa số \((1^2 + 1 + \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}\) ở \(1^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((2^2 – 2 + \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}\) ở \(2^4 + \frac{1}{4}\).
Thừa số \((3^2 + 3 + \frac{1}{2}) = \frac{25}{2}\) ở \(3^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((4^2 – 4 + \frac{1}{2}) = \frac{25}{2}\) ở \(4^4 + \frac{1}{4}\).
…
Thừa số \((29^2 + 29 + \frac{1}{2})\) ở \(29^4 + \frac{1}{4}\) triệt tiêu với thừa số \((30^2 – 30 + \frac{1}{2})\) ở \(30^4 + \frac{1}{4}\).

Sau khi rút gọn, biểu thức A còn lại là:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2})}{(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Vẫn chưa đúng. Hãy xem lại.
A = \(\frac{Tử}{Mẫu}\)

Tử số là tích của các thừa số:
\((1^2 – 1 + \frac{1}{2})\), \((1^2 + 1 + \frac{1}{2})\)
\((3^2 – 3 + \frac{1}{2})\), \((3^2 + 3 + \frac{1}{2})\)
…
\((29^2 – 29 + \frac{1}{2})\), \((29^2 + 29 + \frac{1}{2})\)

Mẫu số là tích của các thừa số:
\((2^2 – 2 + \frac{1}{2})\), \((2^2 + 2 + \frac{1}{2})\)
\((4^2 – 4 + \frac{1}{2})\), \((4^2 + 4 + \frac{1}{2})\)
…
\((30^2 – 30 + \frac{1}{2})\), \((30^2 + 30 + \frac{1}{2})\)

Ta có:
\(1^2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
\(2^2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

\(3^2 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)
\(4^2 – 4 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)

…

\(29^2 + 29 + \frac{1}{2}\)
\(30^2 – 30 + \frac{1}{2}\)

Như vậy, các thừa số \((n^2 + n + \frac{1}{2})\) ở tử số khi n lẻ, sẽ triệt tiêu với các thừa số \((m^2 – m + \frac{1}{2})\) ở mẫu số khi m chẵn, với \(m = n+1\).

Sau khi triệt tiêu, ta còn lại:
A = \(\frac{(1^2 – 1 + \frac{1}{2}) \cdot (3^2 – 3 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2 – 29 + \frac{1}{2})}{(2^2 + 2 + \frac{1}{2}) \cdot (4^2 + 4 + \frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2 + 30 + \frac{1}{2})}\)

Vẫn chưa đúng. Hãy nhìn kỹ lại biểu thức.
A = \(\frac{A_1 \cdot A_3 \cdot A_5 \cdot … \cdot A_{29}}{A_2 \cdot A_4 \cdot A_6 \cdot … \cdot A_{30}}\)
với \(A_n = n^4 + \frac{1}{4}\).
\(A_n = (n^2 – n + \frac{1}{2})(n^2 + n + \frac{1}{2})\).

Tử số = \((1^2-1+\frac{1}{2})(1^2+1+\frac{1}{2}) \cdot (3^2-3+\frac{1}{2})(3^2+3+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2-29+\frac{1}{2})(29^2+29+\frac{1}{2})\)
Mẫu số = \((2^2-2+\frac{1}{2})(2^2+2+\frac{1}{2}) \cdot (4^2-4+\frac{1}{2})(4^2+4+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2-30+\frac{1}{2})(30^2+30+\frac{1}{2})\)

Ta nhận thấy:
\(1^2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
\(2^2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

\(3^2 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)
\(4^2 – 4 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}\)

…

\(29^2 + 29 + \frac{1}{2}\)
\(30^2 – 30 + \frac{1}{2}\)

Như vậy, ta có thể viết lại A như sau:
A = \(\frac{(1^2-1+\frac{1}{2}) \cdot [(1^2+1+\frac{1}{2}) \cdot (3^2+3+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (29^2+29+\frac{1}{2})] } {[(2^2-2+\frac{1}{2}) \cdot (4^2-4+\frac{1}{2}) \cdot … \cdot (30^2-30+\frac{1}{2})] \cdot (30^2+30+\frac{1}{2})}\)

Do \(n^2 + n + \frac{1}{2} = (n+1)^2 – (n+1) + \frac{1}{2}\), nên các thừa số ở phần trong ngoặc vuông sẽ triệt tiêu hết.

Tử số còn lại: \((1^2 – 1 + \frac{1}{2})\)
Mẫu số còn lại: \((30^2 + 30 + \frac{1}{2})\)

Vậy, A = \(\frac{1^2 – 1 + \frac{1}{2}}{30^2 + 30 + \frac{1}{2}}\)

Bây giờ chúng ta tính toán giá trị này.
Tử số: \(1 – 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
Mẫu số: \(30^2 + 30 + \frac{1}{2} = 900 + 30 + \frac{1}{2} = 930 + \frac{1}{2} = \frac{1860 + 1}{2} = \frac{1861}{2}\)

Vậy, A = \(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1861}{2}}\)
A = \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{1861}\)
A = \(\frac{1}{1861}\)

Vậy giá trị của biểu thức A là \(\frac{1}{1861}\).

Cô hy vọng bài giảng chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán. Điều quan trọng là chúng ta phải biết biến đổi biểu thức ban đầu một cách khéo léo để xuất hiện các thừa số có thể rút gọn. Các em hãy xem lại bài này và tự mình thực hiện lại nhé. Chúc các em học tốt!