Tính giá trị của các biểu thức lượng giác C= cos(a+b)cos(a-b) biết cosa=1/3 và c…
Đề bài yêu cầu chúng ta tính giá trị của biểu thức C = cos(a+b)cos(a-b), biết rằng cos a = 1/3 và cos b = 1/4.
Chúng ta sẽ bắt đầu với việc ôn lại một số công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.
Bước 1: Phân tích biểu thức C
Biểu thức C có dạng tích của hai biểu thức lượng giác là cos(a+b) và cos(a-b). Để tính được giá trị này, chúng ta cần sử dụng công thức cộng và công thức trừ trong lượng giác.
Bước 2: Áp dụng công thức cộng và công thức trừ cho cos(a+b) và cos(a-b)
Chúng ta cùng nhớ lại công thức:
Công thức cộng cho cosin:
\[ \cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b \]
Công thức trừ cho cosin:
\[ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \]
Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức này vào biểu thức C:
C = (cos a cos b – sin a sin b) * (cos a cos b + sin a sin b)
Bước 3: Nhận dạng dạng hằng đẳng thức
Các em hãy quan sát kỹ biểu thức vừa thu được. Chúng ta có thể thấy nó có dạng của hằng đẳng thức (x – y)(x + y) = x² – y², với:
x = cos a cos b
y = sin a sin b
Áp dụng hằng đẳng thức này, ta có:
C = (cos a cos b)² – (sin a sin b)²
C = cos²a cos²b – sin²a sin²b
Bước 4: Biến đổi về chỉ còn cosin
Trong biểu thức C = cos²a cos²b – sin²a sin²b, chúng ta có cả sin²a và sin²b. Để tính toán dễ dàng hơn, chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản: sin²x + cos²x = 1. Từ đó, ta suy ra:
sin²a = 1 – cos²a
sin²b = 1 – cos²b
Bây giờ, chúng ta thay thế sin²a và sin²b vào biểu thức C:
C = cos²a cos²b – (1 – cos²a)(1 – cos²b)
Bước 5: Khai triển và rút gọn biểu thức
Tiếp theo, chúng ta sẽ khai triển phần (1 – cos²a)(1 – cos²b):
(1 – cos²a)(1 – cos²b) = 1 1 – 1 cos²b – cos²a 1 + cos²a cos²b
= 1 – cos²b – cos²a + cos²a cos²b
Bây giờ, thay biểu thức vừa khai triển này vào C:
C = cos²a cos²b – (1 – cos²a – cos²b + cos²a cos²b)
C = cos²a cos²b – 1 + cos²a + cos²b – cos²a cos²b
Quan sát biểu thức này, chúng ta thấy có hai số hạng đối nhau là cos²a cos²b và – cos²a cos²b. Chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
C = -1 + cos²a + cos²b
Vậy, chúng ta đã rút gọn biểu thức C về một dạng đơn giản hơn rất nhiều!
Bước 6: Thay giá trị đã cho vào biểu thức rút gọn
Đề bài cho chúng ta biết:
cos a = 1/3
cos b = 1/4
Do đó, ta có:
cos²a = (1/3)² = 1/9
cos²b = (1/4)² = 1/16
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị này vào biểu thức C = -1 + cos²a + cos²b:
C = -1 + 1/9 + 1/16
Bước 7: Tính toán giá trị cuối cùng
Để cộng các phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 9 và 16 là 144 (vì 9 = 3² và 16 = 4² = 2⁴, chúng nguyên tố cùng nhau).
C = -1 (144/144) + (1/9) (16/16) + (1/16) * (9/9)
C = -144/144 + 16/144 + 9/144
C = (-144 + 16 + 9) / 144
C = (-144 + 25) / 144
C = -119 / 144
Vậy, giá trị của biểu thức C là -119/144.
Các em thấy không, chỉ cần áp dụng đúng công thức và thực hiện các phép biến đổi đại số cẩn thận, chúng ta đã giải được bài toán này. Cô hy vọng qua bài tập này, các em càng thêm yêu thích môn Toán và tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
\(\cos(a+b).\cos(a-b)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cos(a+b+a-b)+\dfrac{1}{2}\cos(a+b-a+b)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cos2a+\dfrac{1}{2}\cos2b\)
\(=\dfrac{1}{2}(2\cos^2a-1)+\dfrac{1}{2}(2\cos^2b-1)\)
\(=\cos^2a+\cos^2b-1\)
\(=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2-1\)
\(=\dfrac{-119}{144}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(Ta\) \(có\)
\(Sin a = \sqrt{1 – cos^2a} = \sqrt{ 1- \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(Sin b = \sqrt{ 1- cos^2 b} = \sqrt{ 1 – \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(cos(a+b) . cos(a-b) = ( cos a .cos b – sin a . sin b)( Cos a . cos b + sin a . sin b) = cos^2a.cos^2b – sin^2a – sin^2b\)
\( = \frac{1}{9} . \frac{1}{16} – \frac{8}{9} . \frac{15}{16} = \frac {-119}{144}\)