Xin chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về giới hạn dãy số rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11. Bài toán này nằm trong phần ôn tập kiến thức cơ bản, giúp các em nắm vững phương pháp tính giới hạn.

Chúng ta sẽ cùng nhau tính giới hạn của dãy số sau:

L = lim (n-1) / (n^3 +3)

Các em hãy chú ý quan sát các bước cô trình bày để hiểu rõ bản chất của bài toán nhé.

Bước 1: Nhận dạng dạng của giới hạn

Khi n tiến ra vô cùng (n \(\to +\infty\)), tử số (n-1) sẽ tiến ra vô cùng và mẫu số (n^3 + 3) cũng sẽ tiến ra vô cùng.
Do đó, giới hạn của chúng ta có dạng vô định \(\frac{\infty}{\infty}\).

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n

Để khử dạng vô định này, chúng ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho luỹ thừa cao nhất của n có mặt trong biểu thức. Trong trường hợp này, luỹ thừa cao nhất của n là \(n^3\).

Ta có:
L = lim \(\frac{n-1}{n^3 + 3}\)

Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\):
L = lim \(\frac{\frac{n-1}{n^3}}{\frac{n^3 + 3}{n^3}}\)

Bước 3: Tách biểu thức và rút gọn

Bây giờ, chúng ta sẽ tách biểu thức ở tử và mẫu thành các phân số nhỏ hơn và rút gọn:

Tử số: \(\frac{n-1}{n^3} = \frac{n}{n^3} – \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n^2} – \frac{1}{n^3}\)

Mẫu số: \(\frac{n^3 + 3}{n^3} = \frac{n^3}{n^3} + \frac{3}{n^3} = 1 + \frac{3}{n^3}\)

Vậy, biểu thức giới hạn trở thành:
L = lim \(\frac{\frac{1}{n^2} – \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n^3}}\)

Bước 4: Áp dụng các giới hạn cơ bản

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các giới hạn cơ bản đã học:
– lim \(\frac{1}{n^k} = 0\) với k là số nguyên dương bất kỳ.

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta:
– lim \(\frac{1}{n^2}\) = 0
– lim \(\frac{1}{n^3}\) = 0
– lim \(\frac{3}{n^3}\) = 3 lim \(\frac{1}{n^3}\) = 3 0 = 0

Bước 5: Tính giới hạn cuối cùng

Thay các giá trị giới hạn cơ bản vào biểu thức đã tách:

L = \(\frac{0 – 0}{1 + 0}\)

L = \(\frac{0}{1}\)

L = 0

Vậy, giới hạn của dãy số đã cho là 0.

Qua bài tập này, các em cần nhớ rằng, khi gặp giới hạn có dạng \(\frac{\infty}{\infty}\), bước quan trọng đầu tiên là chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các giới hạn cơ bản để tìm ra kết quả cuối cùng.

Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Cô luôn sẵn sàng giải đáp.