Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên dạy Toán lớp 5 của chúng ta đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính nhanh rất thú vị có trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 5 nhé!

Bài toán của chúng ta là:
Tính nhanh: 1/4 + 1/28 + 1/70 + … + 1/1258 + 1/1480

Các em nhìn qua đề bài, có thể thấy đây là một dãy cộng với các phân số có mẫu số ngày càng lớn. Nếu chúng ta cộng trực tiếp từng phân số, việc này sẽ rất mất thời gian và dễ dẫn đến sai sót. Vậy làm thế nào để tính nhanh được bài toán này nhỉ?

Cô tin rằng, sau bài học này, các em sẽ nhận ra quy luật và có thể giải bài toán một cách nhẹ nhàng.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước nhé!

Bước 1: Quan sát và tìm quy luật của các mẫu số.

Các em hãy nhìn kỹ vào các mẫu số: 4, 28, 70, …, 1258, 1480.
Chúng ta thử tìm mối liên hệ giữa các số này.
Nếu ta thử phân tích các mẫu số này ra thừa số nguyên tố, hoặc tìm cách biểu diễn chúng dưới dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp hoặc có quy luật.

Cô gợi ý các em thử tách các mẫu số này thành tích của hai số.
Mẫu số thứ nhất: 4. Ta có thể viết 4 = 1 x 4.
Mẫu số thứ hai: 28. Ta có thể viết 28 = 4 x 7.
Mẫu số thứ ba: 70. Ta có thể viết 70 = 7 x 10.

Các em có thấy một quy luật ở đây không? Các số nhân với nhau có vẻ liên quan đến nhau.
Chúng ta hãy thử tìm quy luật cho dãy số này nhé.

Nếu chúng ta để ý, các mẫu số có dạng \(a \times (a+k)\) hoặc \(n \times (n+m)\).
Tuy nhiên, nhìn vào cách tách:
4 = 1 x 4
28 = 4 x 7
70 = 7 x 10

Ta thấy, số thứ hai của tích này là số thứ nhất của tích tiếp theo. Nhưng hiệu số giữa các thừa số này không cố định (4-1=3, 7-4=3, 10-7=3). À, vậy là hiệu số cố định bằng 3!

Vậy các mẫu số của chúng ta có dạng:
4 = 1 x 4
28 = 4 x 7
70 = 7 x 10
…

Chúng ta cần tìm hai số tận cùng của dãy này. Dựa vào quy luật trên, chúng ta cần tìm hai số \(n\) và \(m\) sao cho \(n \times m = 1480\).

Nhưng với cách phân tích như trên, chúng ta sẽ khó khăn trong việc tìm ra các số hạng ở giữa và số hạng cuối cùng của dãy phân số.

Bước 2: Áp dụng phương pháp “Tách phân số thành hiệu hai phân số”

Các em còn nhớ bài toán tìm tổng của dãy phân số có dạng \(1/(a \times b)\) không? Chúng ta có công thức:
\(1/(a \times b) = 1/a – 1/b\) (với \(a \ne b\))

Tuy nhiên, các mẫu số của chúng ta ở đây không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chúng ta đã phát hiện ra quy luật: các mẫu số được tạo thành từ tích của hai số có hiệu là 3.
Ví dụ:
4 = 1 x 4 (hiệu là 3)
28 = 4 x 7 (hiệu là 3)
70 = 7 x 10 (hiệu là 3)

Vậy, chúng ta cần điều chỉnh công thức một chút. Nếu mẫu số có dạng \(n \times (n+3)\), thì ta có thể tách nó như thế nào?

Ta xét biểu thức: \(1/n – 1/(n+3)\)
Quy đồng mẫu số: \(\frac{(n+3)}{n \times (n+3)} – \frac{n}{n \times (n+3)} = \frac{n+3-n}{n \times (n+3)} = \frac{3}{n \times (n+3)}\)

Như vậy, nếu phân số có tử số là 3, ta có thể tách ra. Nhưng ở bài toán của chúng ta, tử số lại là 1.
Để đưa về dạng có tử số là 3, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với 3.

\( \frac{1}{n \times (n+3)} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{n \times (n+3)} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}) \)

Vậy, chúng ta sẽ áp dụng công thức này để tách từng phân số trong dãy:

Phân số thứ nhất: 1/4
Ta nhận thấy 4 = 1 x 4. Áp dụng công thức:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{1 \times 4} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{1} – \frac{1}{4}) \)

Phân số thứ hai: 1/28
Ta nhận thấy 28 = 4 x 7. Áp dụng công thức:
\( \frac{1}{28} = \frac{1}{4 \times 7} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} – \frac{1}{7}) \)

Phân số thứ ba: 1/70
Ta nhận thấy 70 = 7 x 10. Áp dụng công thức:
\( \frac{1}{70} = \frac{1}{7 \times 10} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{7} – \frac{1}{10}) \)

Các em thấy chưa nào? Cứ mỗi phân số, chúng ta đều có thể tách ra thành một hiệu của hai phân số, và có một thừa số chung là 1/3 ở phía trước.

Bây giờ, chúng ta cần xác định các số hạng cuối cùng của dãy để có thể áp dụng quy luật này cho đến hết.
Mẫu số cuối cùng là 1480. Chúng ta cần tìm hai số \(n\) và \(n+3\) sao cho \(n \times (n+3) = 1480\).
Chúng ta có thể thử đoán hoặc ước lượng. Vì \(n \times n\) gần bằng 1480, ta thử lấy căn bậc hai của 1480.
Căn bậc hai của 1480 khoảng 38.
Thử với \(n=38\), ta có \(38 \times (38+3) = 38 \times 41 = 1558\) (lớn hơn 1480).
Thử với \(n=37\), ta có \(37 \times (37+3) = 37 \times 40 = 1480\).

Vậy, mẫu số cuối cùng là 1480 = 37 x 40.
Phân số cuối cùng: \( \frac{1}{1480} = \frac{1}{37 \times 40} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{37} – \frac{1}{40}) \)

Chúng ta cũng cần xác định mẫu số của phân số thứ hai cuối cùng, tức là phân số đứng ngay trước 1/1480.
Nếu phân số cuối là \(1/(37 \times 40)\), thì phân số trước đó sẽ có mẫu số là tích của hai số mà số thứ hai là 37.
Vậy mẫu số đó sẽ là \(34 \times 37\).
\(34 \times 37 = 1258\).

Vậy, phân số đứng trước phân số cuối cùng là 1/1258.
\( \frac{1}{1258} = \frac{1}{34 \times 37} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{34} – \frac{1}{37}) \)

Như vậy, dãy số của chúng ta có thể viết lại như sau:
\( \frac{1}{4} + \frac{1}{28} + \frac{1}{70} + \dots + \frac{1}{1258} + \frac{1}{1480} \)
\( = \frac{1}{3} (\frac{1}{1} – \frac{1}{4}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{4} – \frac{1}{7}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{7} – \frac{1}{10}) + \dots + \frac{1}{3} (\frac{1}{34} – \frac{1}{37}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{37} – \frac{1}{40}) \)

Bước 3: Rút gọn bằng phương pháp “Triệt tiêu”

Bây giờ, chúng ta có thể đặt thừa số chung 1/3 ra ngoài dấu ngoặc:
\( = \frac{1}{3} \times [ (\frac{1}{1} – \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} – \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} – \frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{34} – \frac{1}{37}) + (\frac{1}{37} – \frac{1}{40}) ] \)

Các em hãy nhìn vào trong ngoặc vuông. Chúng ta thấy có những phân số bị trừ đi rồi lại được cộng lại. Đây chính là “phép triệt tiêu” mà chúng ta vẫn học.

– \(-\frac{1}{4}\) và \(+\frac{1}{4}\) sẽ triệt tiêu nhau.
– \(-\frac{1}{7}\) và \(+\frac{1}{7}\) sẽ triệt tiêu nhau.
– \(-\frac{1}{10}\) và \(+\frac{1}{10}\) sẽ triệt tiêu nhau.
…
– \(-\frac{1}{37}\) và \(+\frac{1}{37}\) sẽ triệt tiêu nhau.

Vậy, trong ngoặc vuông chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng:
\( = \frac{1}{3} \times [ \frac{1}{1} – \frac{1}{40} ] \)

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng.

Bây giờ, chúng ta chỉ cần tính hiệu hai phân số trong ngoặc rồi nhân với 1/3.
\( = \frac{1}{3} \times [ \frac{40}{40} – \frac{1}{40} ] \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{39}{40} \)

Để nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số:
\( = \frac{1 \times 39}{3 \times 40} \)
\( = \frac{39}{120} \)

Bây giờ, chúng ta cần rút gọn phân số này về dạng tối giản. Cả tử số 39 và mẫu số 120 đều chia hết cho 3.
\( 39 \div 3 = 13 \)
\( 120 \div 3 = 40 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\( \frac{13}{40} \)

Kết luận:

Vậy là chúng ta đã tính nhanh được bài toán này rồi! Bằng cách nhận ra quy luật của các mẫu số và áp dụng phương pháp tách phân số thành hiệu, chúng ta đã biến một bài toán cộng phức tạp thành một bài toán đơn giản hơn rất nhiều.

Nhớ lại các bước chúng ta đã làm:
1. Phân tích mẫu số và tìm quy luật.
2. Áp dụng công thức tách phân số thành hiệu: \( \frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k} \times (\frac{1}{n} – \frac{1}{n+k}) \) (trong trường hợp này k=3).
3. Triệt tiêu các phân số ở giữa.
4. Tính toán kết quả.

Các em thấy không, Toán học thật thú vị và có rất nhiều mẹo nhỏ để giải bài tập. Hãy luôn quan sát, tìm tòi và thử áp dụng các kiến thức đã học nhé!

Cô hy vọng bài học hôm nay hữu ích cho các em. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!